卷积、线性时不变系统、因果系统

因果系统：系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统。因此，因果系统是“物理可实现的”。

线性时不变系统：

线性：输出随着输入线性变化，即输入乘以k倍，输出同样也乘以k倍。
时不变：输出仅与输入相关，与系统状态无关。

线性时不变系统不一定是因果系统，因果系统也不一定是线性时不变系统。

实际的物理可实现系统均为因果系统。非因果系统在后处理技术中得到了广泛的应用，其基本过程是现将实际地将数据接收存储，再进行处理。非因果系统的概念与特性也有实际的意义,如信号的压缩,扩展,语音信号处理等.若信号的自变量不是时间,如位移,距离,亮度等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要

卷积可以描述线性时不变系统，卷积的物理意义也可从因果的线性时不变系统响应来解释，但卷积描述的线性时不变系统可以是非因果的

卷积的物理意义可参考：

https://www.zhihu.com/question/21686447?nr=1

卷积的应用有以下方面：

该部分转自：https://blog.csdn.net/tiandijun/article/details/40080823

作者：曼陀罗彼岸花
来源：CSDN

图像处理：用一个模板和一幅图像进行卷积，对于图像上的一个点，让模板的原点和该点重合，然后模板上的点和图像上对应的点相乘，然后各点的积相加，就得到了该点的卷积值。对图像上的每个点都这样处理。由于大多数模板都是对称的，所以模板不旋转。卷积是一种积分运算，用来求两个曲线重叠区域面积。可以看作加权求和，可以用来消除噪声、特征增强。

把一个点的像素值用它周围的点的像素值的加权平均代替。

卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积，广泛应用于图像滤波。

卷积在数据处理中用来平滑，卷积有平滑效应和展宽效应.

电路学：卷积法的原理是根据线性定常电路的性质(齐次性、叠加性、时不变性、积分性等),借助电路的单位冲激响应h(t),求解系统响应的工具，系统的激励一般都可以表示为冲击函数和激励的函数的卷积，而卷积为高等数学中的积分概念。概念中冲击函数的幅度是由每个矩形微元的面积决定的。

卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理中的卷积定理。利用该定理，可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效的计算，节省运算代价。

信号处理：

1）卷积实质上是对信号进行滤波；

2）卷积就是用冲击函数表示激励函数，然后根据冲击响应求解系统的零状态响应。

卷积是求和（积分）。对于线性时不变的系统，输入可以分解成很多强度不同的冲激的和的形式（对于时域就是积分），那么输出也就是这些冲激分别作用到系统产生的响应的和（或者积分）。所以卷积的物理意义就是表达了时域中输入，系统冲激响应，以及输出之间的关系。

信号角度：卷积代表了线性系统对输入信号的响应方式,其输出就等于系统冲击函数和信号输入的卷积,只有符合叠加原理的系统,才有系统冲击函数的概念,从而卷积成为系统对输入在数学上运算的必然形式,冲击函数实际上是该问题的格林函数解。点激励源作为强加激励,求解某个线性问题的解,得到的格林函数即是系统冲击响应.所以在线性系统中,系统冲击响应与卷积存在着必然的联系。

数学：来说卷积就是定义两个函数的一种乘法，或者是一种反映两个序列或函数之间的运算方法。对离散序列来说就是两个多项式的乘法。物理意义就是冲激响应的线性叠加，所谓冲激响应可以看作是一个函数，另一个函数按冲激信号正交展开。

在现实中：卷积代表的是将一种信号搬移到另一频率中，比如调制，这是频率卷。

物理：卷积可代表某种系统对某个物理量或输入的调制或污染。

在现实中：卷积代表的是将一种信号搬移到另一频率中，比如调制，这是频率卷。

形象比喻：卷积我觉得就象一把锉刀，它主要是把一些非光滑的函数或算子光滑化。

信号处理的任务就是寻找和信号集合对应的一个集合，然后在另外一个集合中分析信号，Fourier变换就是一种，它建立了时域中每个信号函数与频域中的每个频谱函数的一一对应关系，这是元素之间的对应。那么运算之间的对应呢，在时域的加法对应频域中的加法，这就是FT线性性的体现；那么时域的乘法对应什么呢，最后得到的那个表达式我们就把它叫卷积，就是对应的频域的卷积。

简单来说，卷积是一种重叠关系，也就是说，所得到的结果反映了两个卷积函数的重叠部分。所以，用一个已知频段的函数卷积另一个频段很宽的函数，也就是对后者进行了滤波，后者跟前者重叠的频段才能很好地通过这个filter.