一、LTI 系统单位脉冲响应

线性时不变系统 , 简称 " LTI " , 英文全称 Linear time-invariant ;

系统的 " 时域特性 " 为 h(n)=T[δ(n)]h(n) = T[\delta(n)]h(n)=T[δ(n)] ;

在 " 模拟系统 " 中 , 当系统输入为 δ(t)\delta(t)δ(t) 时 , 系统的 " 零状态响应 " 是 h(t)h(t)h(t) ;

在 " 离散系统 " 中 , 当系统输入为 δ(n)\delta(n)δ(n) 时 , 系统的 " 零状态响应 " 是 h(n)h(n)h(n) , 零状态是 y(−1)=0y(-1) = 0y(−1)=0 ;

定义了系统的 " 单位脉冲响应 " 之后 , 系统的 " 输入 " 和 " 输出 " 之间 , 存在着 " 卷积 " 关系 ;

二、卷积

对于线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 来说 ,

假设 x(n)x(n)x(n) 是 LTI 系统的 " 输入序列 " , y(n)y(n)y(n) 是 " 输出序列 " ,

则有 :

y(n)=∑m=−∞+∞x(m)h(n−m)=x(n)∗h(n)y(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) h(n-m) = x(n) * h(n)y(n)=m=−∞∑+∞x(m)h(n−m)=x(n)∗h(n)

线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 的

" 输出序列 "

等于

" 输入序列 " 与 " 系统单位脉冲响应 " 的线性卷积 ;

推导过程如下 :

任何一个输入序列 x(n)x(n)x(n) , 都可以由单位脉冲序列的加权和表示 :

x(n)=∑m=−∞+∞x(m)δ(n−m)x(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) \delta(n-m)x(n)=m=−∞∑+∞x(m)δ(n−m)

与上面的输入序列 x(n)x(n)x(n) 相对应的输出序列 y(n)y(n)y(n) 为 :

y(n)=T[x(n)]=∑m=−∞+∞x(m)T[δ(n−m)]y(n) = T[x(n)] = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) T[\delta(n-m)]y(n)=T[x(n)]=m=−∞∑+∞x(m)T[δ(n−m)]

上述式子中使用的系统 T[δ(n−m)]T[\delta(n-m)]T[δ(n−m)] 是 " 线性 " 系统 ,

当该系统 TTT 的输入为 δ(n)\delta(n)δ(n) 时 , 输出为 h(n)h(n)h(n) ;

( 根据 " 时不变 " 系统的性质 , 系统特性不随着时间变化而变化 )

当该系统 TTT 的输入为 δ(n−m)\delta(n-m)δ(n−m) 时 , 输出为 h(n−m)h(n-m)h(n−m) ;

( 根据 " 时不变 " 系统的性质 , 系统特性不随着时间变化而变化 )

∑m=−∞+∞x(m)h(n−m)=x(n)∗h(n)\sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) h(n-m) = x(n) * h(n)m=−∞∑+∞x(m)h(n−m)=x(n)∗h(n)

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一、LTI 系统单位脉冲响应

二、卷积

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