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一、线性卷积起点定理推导过程

推导【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( 线性卷积起点定理 | 左边序列概念 | 推理 ) 一、线性卷积起点定理章节中的 " 线性卷积起点定理 " ;

一、线性卷积起点定理推导过程

先考虑 x(n)x(n)x(n) 和 y(n)y(n)y(n) 是右边序列的情况 ;

g(n)=x(n)∗y(n)=∑i=−∞+∞x(i)y(n−i)g(n) = x(n) * y(n) = \sum^{+\infty}_{i = -\infty} x(i) y(n - i)g(n)=x(n)∗y(n)=i=−∞∑+∞x(i)y(n−i)

右边序列 x(i)x(i)x(i) 是从某个点 N1N_1N1 开始有值 , 如果 i≤N1i \leq N_1i≤N1 时 , x(i)x(i)x(i) 值都为 000 , 因此 ∑i=−∞+∞x(i)y(n−i)\sum^{+\infty}_{i = -\infty} x(i) y(n - i)∑i=−∞+∞x(i)y(n−i) 式子计算时 , 可以不用从 i=−∞i = -\inftyi=−∞ 开始累加 , 从 i=N1i =N_1i=N1 开始累加即可 ;

g(n)=x(n)∗y(n)=∑i=N1+∞x(i)y(n−i)g(n) = x(n) * y(n) = \sum^{+\infty}_{i = N_1} x(i) y(n - i)g(n)=x(n)∗y(n)=i=N1∑+∞x(i)y(n−i)

右边序列 y(n−i)y(n - i)y(n−i) 是从某个点 N2N_2N2 开始有值 , n−in - in−i 一定是大于等于 N2N_2N2 时 , 才有值

n−i≥N2n - i \geq N_2n−i≥N2
i≤n−N2i \leq n - N_2i≤n−N2

因此 , 这里 iii 的取值不用到 +∞+\infty+∞ , 最高取值 n−N2n - N_2n−N2 即可 ;

g(n)=x(n)∗y(n)=∑i=N1n−N2x(i)y(n−i)g(n) = x(n) * y(n) = \sum^{n - N_2}_{i = N_1} x(i) y(n - i)g(n)=x(n)∗y(n)=i=N1∑n−N2x(i)y(n−i)

如果 n−N2<N1n - N_2 < N_1n−N2<N1 , 即 n<N1+N2n < N_1 + N_2n<N1+N2 , 则有 i<N1i < N_1i<N1 , 此时

∑i=−N1n−N2x(i)y(n−i)\sum^{n - N_2}_{i = -N_1} x(i) y(n - i)i=−N1∑n−N2x(i)y(n−i)

计算结果为 000 , 只有在 n−N2≥N1n - N_2 \geq N_1n−N2≥N1 时 , 即 n≥N1+N2n \geq N_1 + N_2n≥N1+N2 时 ,

g(n)=x(n)∗y(n)=∑i=N1n−N2x(i)y(n−i)g(n) = x(n) * y(n) = \sum^{n - N_2}_{i = N_1} x(i) y(n - i)g(n)=x(n)∗y(n)=i=N1∑n−N2x(i)y(n−i)

才有意义 ;

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