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第二章 线性时不变系统 Linear Time-invariant System

假设一个线性时不变系统：fi(t)→yi(t),i=1,2,...fi(t)→yi(t),i=1,2,...f_i(t) \to y_i(t) ,i = 1,2,...

假设有f(t)=∑ni=1aifi(t−ti)f(t)=∑i=1naifi(t−ti)f(t)=\sum_{i=1}^{n}a_if_i(t-t_i)，因为线性时不变，故有响应y(t)=∑ni=1aiyi(t−ti)y(t)=∑i=1naiyi(t−ti)y(t) = \sum_{i=1}^na_iy_i(t-t_i)

离散时间线性时不变系统：卷积和(Discrete-time LTI System: The Convolution Sum)

用脉冲表示的离散时间信号(The representation of discrete-time signals)

x[n] = ... + x[-1]\delta[n+1] + x[0]\delta[n] + x[1]\delta[n-1] + ...

x[n] = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k]

将离散时间信号当成一串单个脉冲，称为离散时间单位脉冲序列的筛选性质（sifting）

系统的离散信号的卷积和表示(The Convolution-Sum Representation of LTI System LTI)

\delta[n]\to h[n]

\delta[n-k]\to h[n-k](time\space invariance)

x[k]\delta[n-k] \to x[k]h[n-k](homogeneous)

\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k]\to\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k](additivity)

y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k] = x[n]\star h[n]

我们用x[n]⋆y[n]x[n]⋆y[n]x[n]\star y[n]表示∑+∞−∞x[k]h[n−k]∑−∞+∞x[k]h[n−k]\sum_{-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]，称为卷积和

系统在nnn时刻的输出包含所有时刻输入脉冲的影响，即对于输出y[n]" role="presentation">y[n]y[n]y[n]，输出在n0n0n_0时刻的值y[n0]y[n0]y[n_0]包含所有时刻输入脉冲的影响：y[n0]=∑+∞k=−∞x[k]h[n0−k]y[n0]=∑k=−∞+∞x[k]h[n0−k]y[n_0]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n_0-k]

h[n]h[n]h[n]也被称为系统的零状态响应

卷积和的计算：

1. 利用定义：

eg：

x[n]=αn⋅u[n],h[n]=u[n]x[n]=αn⋅u[n],h[n]=u[n]x[n] = \alpha^n \cdot u[n], h[n] = u[n]，求x[n]⋆h[n]x[n]⋆h[n]x[n]\star h[n]

x[n]⋆h[n]=∑+∞k=−∞x[k]h[n−k]x[n]⋆h[n]=∑k=−∞+∞x[k]h[n−k]x[n]\star h[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]

=∑+∞k=0αku[k]u[n−k]=∑k=0+∞αku[k]u[n−k]\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space =\sum_{k=0}^{+\infty}\alpha^ku[k]u[n-k]

=∑nk=0αk,(n≥0)=∑k=0nαk,(n≥0)\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space =\sum_{k=0}^{n}\alpha^k, (n\ge 0)

1. 图解法

   （1）反折：h[n]⇒h[k]→h[−k]h[n]⇒h[k]→h[−k]h[n]\Rightarrow h[k] \to h[-k]

   （2）平移：⇒h[n−k]⇒h[n−k]\Rightarrow h[n-k]（n大于0是右移，n小于0是左移）

   （3）x[k]h[n−k]x[k]h[n−k]x[k]h[n-k]对于每一个不同的n求积

   （4）对于每一个n求和：x[n]⋆h[n]=∑+∞k=−∞x[k]h[n−k]x[n]⋆h[n]=∑k=−∞+∞x[k]h[n−k]x[n]\star h[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]

连续时间线性时不变系统：卷积积分(Continuous-Time LTI System: The Convolution Integral)

用冲激表示的连续时间信号

\delta(t) = \lim_{\Delta \to 0}\delta_{\Delta}(t)

\hat{x}(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k\Delta) \delta_{\Delta}(t-k\Delta)\cdot \Delta

x(t) = \lim_{\Delta \to 0}\hat{x}(t)

x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau\space\space\space\space(*)

（∗）（∗）（*）即为连续时间信号的冲激表现形式

下面通过上面的冲激表现形式来得出连续时间信号通过LTI系统的响应

连续时间线性时不变系统的单位冲激响应和卷积积分表示

\delta_{\Delta}(t) \to h_{\Delta}(t)

\delta_{\Delta}(t-k\Delta) \to h_{\Delta}(t-k\Delta)(time\space invariance)

x(k\Delta)\delta_{\Delta}(t-k\Delta) \to x(k\Delta)h_{\Delta}(t-k\Delta)(homogeneous)

\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k\Delta)\delta_{\Delta}(t-k\Delta)\cdot\Delta \to \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k\Delta)h_{\Delta}(t-k\Delta)\cdot\Delta(additivity)

y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau= x(t)\star h(t)

同理，反映的是所有时刻作用于系统的冲激在ttt时刻产生响应的加权积分，加权因子由输入信号x(τ)" role="presentation">x(τ)x(τ)x(\tau)控制

所以，若一个LTI系统有δ(t)→h(t)δ(t)→h(t)\delta(t)\to h(t)，故对于一个x(t)x(t)x(t)的输入，输出y(t)=x(t)⋆h(t)y(t)=x(t)⋆h(t)y(t)=x(t)\star h(t)，我们称它为卷积积分（The Convolution Integral）

卷积的计算

（以后也可以通过傅里叶变换，拉普拉斯变换求卷积积分）

1. 利用定义：

eg：

x(t)=e−at⋅u(t),a>0,h(t)=u(t)x(t)=e−at⋅u(t),a>0,h(t)=u(t)x(t) = e^{-at}\cdot u(t), a > 0, h(t) = u(t)，试求h(t)⋆x(t)h(t)⋆x(t)h(t)\star x(t)

h(t)⋆x(t)=∫+∞−∞e−aτ⋅u(τ)⋅u(t−tau)dτ={∫t0e−aτdτ0t≥0t<0h(t)⋆x(t)=∫−∞+∞e−aτ⋅u(τ)⋅u(t−tau)dτ={∫0te−aτdτt≥00t<0h(t)\star x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-a\tau}\cdot u(\tau)\cdot u(t-tau)d\tau=\begin{cases} \int_{0} ^{t}e^{-a\tau}d\tau&t \ge 0 \\ 0 & t

即：h(t)⋆x(t)=1a(1−e−at)u(t)h(t)⋆x(t)=1a(1−e−at)u(t)h(t)\star x(t) = \frac{1}{a}(1-e^{-at})u(t)

1. 图解法：

卷积的性质

1. The Commutative Property 交换律

x(t)\star h(t) = h(t) \star x(t)

x[n]\star h[n] = h[n] \star x[n]

1. The distributive Property 分配率

x(t)\star \{h_1(t) + h_2(t)\}= x(t)\star h_1(t) +x(t)\star h_2(t)

x[n]\star \{h_1[n] + h_2[n]\}= x[n]\star h_1[n] +x[n]\star h_2[n]

1. The Associative Property 结合律

x(t)\star \{h_1(t) \star h_2(t)\}= \{x(t) \star h_1(t)\} \star h_2(t)

x[n]\star \{h_1[n] \star h_2[n]\}= \{x[n] \star h_1[n]\} \star h_2[n]

这里的（a）（b）（c）（d）是等价的

1. 含有冲激的卷积（△△\triangle）

   1. x(t)⋆δ(t)=x(t)x(t)⋆δ(t)=x(t)x(t)\star \delta(t) = x(t)

      x[n]⋆δ[n]=x[n]x[n]⋆δ[n]=x[n]x[n]\star \delta[n] = x[n]

      x(t)⋆δ(t−t0)=x(t−t0)x(t)⋆δ(t−t0)=x(t−t0)x(t)\star \delta(t-t_0) = x(t-t_0)

      x[n]⋆δ[n−n0]=x[n−n0]x[n]⋆δ[n−n0]=x[n−n0]x[n]\star \delta[n-n_0] = x[n-n_0]

   2. 若y(t)=x(t)⋆h(t)y(t)=x(t)⋆h(t)y(t) = x(t) \star h(t)，则x(t−t1)⋆h(t−t2)=y(t−t1−t2)x(t−t1)⋆h(t−t2)=y(t−t1−t2)x(t-t_1) \star h(t-t_2) = y(t-t_1-t_2)

   由此可见，将某些信号变成冲激的形式，可以极大的化简卷积的计算过程，通过微分使如方波，线性函数变成冲激形式

2. 卷积的微分、积分性质

   1. 微分：y(t)=x(t)⋆h′(t)=x′(t)⋆h(t)y(t)=x(t)⋆h′(t)=x′(t)⋆h(t)y(t) = x(t) \star h'(t) = x'(t) \star h(t)

   2. 积分：y(−1)(t)=x(t)⋆h(−1)(t)=x(−1)(t)⋆h(t)y(−1)(t)=x(t)⋆h(−1)(t)=x(−1)(t)⋆h(t)y^{(-1)}(t) = x(t) \star h^{(-1)}(t) = x^{(-1)}(t) \star h(t)

   3. 推广：yn(t)=x(t)⋆hn(t)=xn(t)⋆h(t)yn(t)=x(t)⋆hn(t)=xn(t)⋆h(t)y^{n}(t) = x(t) \star h^{n}(t) = x^{n}(t) \star h(t)

      ​ ym+n(t)=xm(t)⋆hn(t)=xm(t)⋆hn(t)ym+n(t)=xm(t)⋆hn(t)=xm(t)⋆hn(t)y^{m+n}(t) = x^m(t) \star h^{n}(t) = x^{m}(t) \star h^n(t)

LTI 系统的性质

有记忆和无记忆(LTI System with and without Memory )

1. y[n]=x[n]⋆h[n]=∑+∞k=−∞x[k]h[n−k]y[n]=x[n]⋆h[n]=∑k=−∞+∞x[k]h[n−k]y[n] = x[n] \star h[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]

   无记忆：h[n−k]=0,k≠n⇒h[n]=0,n≠0h[n−k]=0,k≠n⇒h[n]=0,n≠0h[n-k] = 0, k \ne n \Rightarrow h[n] = 0, n \ne 0

2. y(t)=x(t)⋆h(t)=∫+∞−∞x(τ)h(t−τ)dτy(t)=x(t)⋆h(t)=∫−∞+∞x(τ)h(t−τ)dτy(t) = x(t) \star h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)h(t-\tau)d\tau

   无记忆：h(t−τ)=0,τ≠t⇒h(t)=0,t≠0h(t−τ)=0,τ≠t⇒h(t)=0,t≠0h(t-\tau) = 0, \tau \ne t \Rightarrow h(t) = 0, t \ne 0

可逆性(Invertibility of LTI System )

因果性(Causality of LTI System)

1. 离散时间系统

y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{n}x[k]h[n-k] + \sum_{k=n+1}^{+\infty}x[k]h[n-k]

当k>nk>nk > n时，h[n−k]=0⇒h[n]=0,n<0h[n−k]=0⇒h[n]=0,n<0h[n-k] = 0 \Rightarrow h[n] =0, n

即如果时间信号n<0n<0n 时，h[n]=0h[n]=0h[n] =0，故为因果系统

对离散时间的因果系统来讲，它的单位脉冲响应必然是因果的

1. 同理，对连续时间系统有：h(t)=0,t<0h(t)=0,t<0h(t) = 0, t

稳定性(Stability for LTI System)

1. 离散时间系统

|x[n]|

|y[n]| = |\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[n-k]h[k]| \le \sum_{k=-\infty}^{+\infty}|x[n-k]|\cdot |h[k]| \le M \cdot \sum_{k=-\infty}^{+\infty}|h[k]|

即如果一个系统是有界的，那么用于描述这个系统的单位脉冲的响应的累计有界，即：

\sum_{k=-\infty}^{+\infty}|h[k]|

1. 同理，对连续时间系统有：∫+∞−∞|h(t)|<∞∫−∞+∞|h(t)|<∞\int_{-\infty}^{+\infty}|h(t)|

奇异函数(Singularity Function)

作为理想化短脉冲的单位冲激(The Unit Impulse as an Idealized Short Pulse)

δ(t)=limΔ→0δΔ(t)δ(t)=limΔ→0δΔ(t)\delta(t) = \lim_{\Delta\to 0}\delta_{\Delta}(t)

δ(t)=limΔ→0rΔ(t)δ(t)=limΔ→0rΔ(t)\delta(t) = \lim_{\Delta\to 0}r_{\Delta}(t)

δ(t)=limΔ→0rΔ(t)⋆δΔ(t)δ(t)=limΔ→0rΔ(t)⋆δΔ(t)\delta(t) = \lim_{\Delta\to 0}r_{\Delta}(t) \star \delta_{\Delta}(t)

δ(t)=limΔ→0rΔ(t)⋆rΔ(t)δ(t)=limΔ→0rΔ(t)⋆rΔ(t)\delta(t) = \lim_{\Delta\to 0}r_{\Delta}(t) \star r_{\Delta}(t)

这些都可以用来表示单位冲激信号，只要持续时间宽度足够短，在这个意义来讲完全等价

通过卷积定义单位冲激(Define the Unit Impulse through Convolution)

1. 若对于∀x(t)∀x(t)\forall x(t)，都有x(t)⋆φ(t)=x(t)x(t)⋆φ(t)=x(t)x(t) \star \varphi (t) = x(t)，则φ(t)=δ(t)φ(t)=δ(t)\varphi (t) = \delta(t)，δ(t)δ(t)\delta(t)为单位冲激信号

2. 通过筛选性质定义：

   对于任意x(t)x(t)x(t)，x(t)x(t)x(t)在t=0t=0t = 0时是连续的，若∫+∞−∞x(t)⋅φ(t)dt=x(t)⇒φ(t)=δ(t)∫−∞+∞x(t)⋅φ(t)dt=x(t)⇒φ(t)=δ(t)\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \varphi(t)dt = x(t) \Rightarrow \varphi(t) = \delta(t)，δ(t)δ(t)\delta(t)为单位冲激信号

单位冲激偶和其他奇异函数(Unit Doublets and Other Singularity Functions)

1. 单位冲激偶：u1(t)=dδ(t)dtu1(t)=dδ(t)dtu_1(t) = \frac{d\delta(t)}{dt}，可以看做是一个信号在同一时刻两个相反的两个冲激，面积为0；也可以看成一个微分器的单位冲激响应

   

2. k阶冲激偶：uk(t)=dkδ(t)dtkuk(t)=dkδ(t)dtku_k(t) = \frac{d^k\delta(t)}{dt^k}

3. ∫+∞−∞φ(t)u1(t)dt=−φ′(0)∫−∞+∞φ(t)u1(t)dt=−φ′(0)\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi (t) u_1(t) dt = -\varphi'(0)

   ∫+∞−∞φ(t)uk(t)dt=(−1)kdkφ(t)dtk|t=0∫−∞+∞φ(t)uk(t)dt=(−1)kdkφ(t)dtk|t=0\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi (t) u_k(t) dt = (-1)^k\frac{d^k\varphi(t)}{dt^k}|_{t = 0}

4. 冲激偶的性质：

   • ∫+∞−∞u1(t)dt=0∫−∞+∞u1(t)dt=0\int_{-\infty}^{+\infty} u_1 (t)dt = 0
   • u1(−t)=−u1(t)u1(−t)=−u1(t)u_1(-t) = -u_1(t)，k为奇数，为奇函数；k为偶数，为偶函数
   • φ(t)u1(t)=φ(0)u1(t)−φ′(0)δ(t)φ(t)u1(t)=φ(0)u1(t)−φ′(0)δ(t)\varphi (t) u_1(t) = \varphi (0) u_1(t) - \varphi' (0) \delta(t)

单位冲激积分(Derivatives of different orders of unit impulse)

u_{-k}(t) = u_{-1}(t)\star u_{-1}(t) \cdot \cdot \cdot u_{-1}(t)

u−2(t)=u−1(t)⋆u−1(t)=∫t−∞u(τ)dτ=tu(t)u−2(t)=u−1(t)⋆u−1(t)=∫−∞tu(τ)dτ=tu(t)u_{-2}(t) = u_{-1}(t)\star u_{-1}(t) = \int_{-\infty}^{t}u(\tau)d\tau = tu(t)，被称为单位斜波函数（unit ramp functions）

用微分和差分方程描述的因果LTI系统(Causal LTI System described by Differential and different Equation)

线性常系数微分方程(Linear Constant-coefficient Differential Equation)

∑Nk=0akdky(t)dtk=∑Mk=0bkdkx(t)dtk∑k=0Nakdky(t)dtk=∑k=0Mbkdkx(t)dtk\sum_{k=0}^{N}a_k\frac{d^ky(t)}{dt^k} = \sum_{k=0}^{M}b_k\frac{d^kx(t)}{dt^k}

y(t)=yx(t)+yf(t)y(t)=yx(t)+yf(t)y(t) = y_x(t) + y_f(t)

yx(t)yx(t)y_x(t) 零输入响应，yf(t)yf(t)y_f(t) 零状态响应

线性常系数差分方程(Linear Constant-coefficient Difference Equation)

∑Nk=0aky[n−k]=∑Mk=0bkx[n−k]∑k=0Naky[n−k]=∑k=0Mbkx[n−k]\sum_{k=0}^{N}a_k y[n-k] = \sum_{k=0}^{M}b_k x[n-k]

用方框图表示一阶系统

1. 对于离散时间系统：

eg：y[n]+ay[n−1]=b[n]y[n]+ay[n−1]=b[n]y[n] + ay[n-1] = b[n]

1. 对于连续时间信号：

eg：对于dy(t)dt=bx(t)−ay(t)dy(t)dt=bx(t)−ay(t)\frac{dy(t)}{dt} = bx(t) - ay(t)

然而因为微分器实现困难，而且对于噪声和误差极为灵敏，因此我们常常将上式改写为：y(t)=∫t−∞[bx(t)−ay(t)]dty(t)=∫−∞t[bx(t)−ay(t)]dty(t) = \int_{-\infty}^{t}[bx(t) - ay(t)]dt

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