在时频域分析中，需要先铺垫几个概念。分别是相加性、齐次性、时不变、卷积、冲击响应。下述内容将尽量通俗易懂，减少公式堆砌，可能会有不严谨之处。

1.相加性和齐次性

由于这两个概念是线性系统必须满足的两个条件，所以放在一起来说。这两个概念很好理解，是符合大众日常认知的。

用一个不太恰当的比喻，大概就是“等价交换”。

一毛钱买一块糖，十毛钱买十块糖就是相加性。即f(ax)=af(x)

一毛钱买一块糖，一个贝壳换一个金子，用一毛钱和一个贝壳能换一块糖和一个金子，就是齐次性。即f(x+y)=f(x)+f(y)

满足相加性和齐次性的系统就是线性系统。这种系统是很“直白”的，给他什么输入，能得到什么输出是很容易计算和理解的。

2.时不变

“直白”的线性系统固然不错，但他会不会变呢，会不会哪天给十毛钱的时候只能换到5块糖了呢。有一些是会变的，但有一些不会。对于这些意志坚定不随时间变化的线性系统，我们叫他线性时不变系统。

3.卷积

卷积的连续的定义为：

卷积只适用于线性时不变系统。关于卷积，有一个形象的例子：

比如说你的老板命令你干活，你却到楼下打台球去了，后来被老板发现，他非常气愤，扇了你一巴掌（注意，这就是输入信号，脉冲），于是你的脸上会渐渐地（贱贱地）鼓起来一个包，你的脸就是一个系统，而鼓起来的包就是你的脸对巴掌的响应，好，这样就和信号系统建立起来意义对应的联系。下面还需要一些假设来保证论证的严谨：假定你的脸是线性时不变系统，也就是说，无论什么时候老板打你一巴掌，打在你脸的同一位置（这似乎要求你的脸足够光滑，如果你说你长了很多青春痘，甚至整个脸皮处处连续处处不可导，那难度太大了，我就无话可说了哈哈），你的脸上总是会在相同的时间间隔内鼓起来一个相同高度的包来，并且假定以鼓起来的包的大小作为系统输出。好了，那么，下面可以进入核心内容——卷积了！
如果你每天都到地下去打台球，那么老板每天都要扇你一巴掌，不过当老板打你一巴掌后，你5分钟就消肿了，所以时间长了，你甚至就适应这种生活了……如果有一天，老板忍无可忍，以0.5秒的间隔开始不间断的扇你的过程，这样问题就来了，第一次扇你鼓起来的包还没消肿，第二个巴掌就来了，你脸上的包就可能鼓起来两倍高，老板不断扇你，脉冲不断作用在你脸上，效果不断叠加了，这样这些效果就可以求和了，结果就是你脸上的包的高度随时间变化的一个函数了（注意理解）；如果老板再狠一点，频率越来越高，以至于你都辨别不清时间间隔了，那么，求和就变成积分了。可以这样理解，在这个过程中的某一固定的时刻，你的脸上的包的鼓起程度和什么有关呢？和之前每次打你都有关！但是各次的贡献是不一样的，越早打的巴掌，贡献越小，所以这就是说，某一时刻的输出是之前很多次输入乘以各自的衰减系数之后的叠加而形成某一点的输出，然后再把不同时刻的输出点放在一起，形成一个函数，这就是卷积，卷积之后的函数就是你脸上的包的大小随时间变化的函数。本来你的包几分钟就可以消肿，可是如果连续打，几个小时也消不了肿了，这难道不是一种平滑过程么？反映到剑桥大学的公式上，f(a)就是第a个巴掌，g(x-a)就是第a个巴掌在x时刻的作用程度，乘起来再叠加就ok了，大家说是不是这个道理呢？我想这个例子已经非常形象了，你对卷积有了更加具体深刻的了解了吗？
转自GSDzone论坛
来源：人人网

珠玉在前，就不再对卷积做过多解释了。如果还不理解的话可以再看下这篇文章知乎用户：如何通俗易懂地解释卷积？

卷积的概念理解了，他有一些重要的特征需要牢记：

性质1：时域的卷积等于频域相乘；频域卷积等于时域相乘。

如果你看过我这篇文章信号的各种频域分析方法的理解（频谱、能量谱、功率谱、倒频谱、小波分析） 会对里边的一个例子有印象：

实际实验中齿轮啮合振动信号（高频）和齿轮轴的转频振动信号（低频）的特征频率可能是有多组的，其调制后的频域信号近似于一组频率间隔较大的脉冲函数和一组频率间隔较小的脉冲函数的卷积，从而在频谱上形成若干组围绕啮合频率及其倍频成分两侧的边频族，如下图：

图中（a）为高频和低频信号在时域上的调制（相乘），（b）就是在频域上做卷积的结果。

边频带的形成又验证了卷积的第二个性质：

性质2：与脉冲函数的卷积，在每个脉冲的位置上将产生一个波形的镜像。上图中左下角的频域信号图并不是严格的脉冲信号，不过根据线性系统的相加性，其结果类似。一个更严格的例子如下图所示，图（6）是图（2）和图（4）卷积的结果：

4.冲激响应

系统在单位冲激函数激励下引起的零状态响应被称之为该系统的“冲激响应”。

形象的理解，冲激响应就是上边例子中，被打了一巴掌（单位脉冲）后鼓起来的“包”。不同人（不同系统）在受到同样力度巴掌（单位脉冲）后鼓起来的包的形状、持续时间都是不同的（冲激响应不同）。但是对于相同的人（线性时不变系统），每次的包都是相同的。所以只要知道了巴掌在何时以何种力度打下去的（信号输入），通过卷积就能知道脸会肿成什么形状。（系统输出）

所以在时域上，只要知道了冲击响应，就能根据输入算出输出。这就将复杂的输出结果的计算过程拆成了简单的两步：1.计算系统的冲激响应；2.输入与冲激响应做卷积。

细心地话会发现，上边的过程是在时域中进行的，时域上的卷积就是频域上的相乘，所以：冲激响应的频域变换=输出的频域变换÷输入的频域变换=传递函数。是的，冲激响应的频域变换就是系统在频域的传递函数。

说到这儿，有一句话，大家试着理解一下：

任何一个线性时不变系统都可以看做是数字滤波器

数字滤波器的概念还没提到，不过看这个专栏的同学们应该不会陌生。根据上面的描述可知，线性时不变系统在时域上可以抽象成冲激响应，频域上可以抽象成传递函数。从频域分析来看，信号通过线性系统后，输出信号的频谱将是输入信号的频谱与系统传递函数的乘积。传递函数某些频率成分有较大的模。因此，原始信号中这些频率成分将得到加强，而另外一些频率成分处的模很小甚至为零，原始信号中这部分频率分量将被削弱或消失。因此，系统的作用相当于对输入信号的频谱进行加权。对于任意线性时不变系统，虽然加强或削弱的频率分量不同，但是其起到的频率筛选的作用是相同的。

5.窗函数

窗函数这个概念在做傅里叶变换和滤波的时候时常会见到，其含义可以直接看这篇文章：

linmue-谭祥军：怎样用通俗易懂的方式解释窗函数？

6.拉普拉斯变换与z变换

拉普拉斯变换和z变换有一个直观的讲解，可以参考这篇：

傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的联系？为什么要进行这些变换。研究的都是什么？

拉普拉斯变换与z变换已经是两个比较庞大的体系了，如果要彻底搞清楚还是要找课程或者教材学习一下才好。有时间的时候专门对这部分进行补充。

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参考：

信号处理原理