【组合数学】递推方程 ( 特征方程与特征根 | 特征方程示例 | 一元二次方程根公式 )
文章目录
- 一、特征方程与特征根
- 二、特征方程与特征根 示例 ( 重要 )
一、特征方程与特征根
常系数线性齐次递推方程标准型 :
{H(n)−a1H(n−1)−a2H(n−2)−⋯−akH(n−k)=0H(0)=b0,H(1)=b1,H(2)=b2,⋯,H(k−1)=bk−1\begin{cases} H(n) - a_1H(n-1) - a_2H(n-2) - \cdots - a_kH(n-k) = 0 \\\\ H(0) = b_0 , H(1) = b_1 , H(2) = b_2 , \cdots , H(k-1) = b_{k-1} \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧H(n)−a1H(n−1)−a2H(n−2)−⋯−akH(n−k)=0H(0)=b0,H(1)=b1,H(2)=b2,⋯,H(k−1)=bk−1
常系数 是指数列的 项之前的 系数 a1,a2,⋯,aka_1 , a_2 , \cdots , a_ka1,a2,⋯,ak 都是常数 , ak≠0a_k \not=0ak=0 ;
b0,b1,b2,⋯,bk−1b_0 , b_1, b_2 , \cdots , b_{k-1}b0,b1,b2,⋯,bk−1 是 递推方程的 k−1k-1k−1 个初值 ;
写出特征方程 :
xk−a1xk−1−⋯−ak=0x^k - a_1x^{k-1} - \cdots - a^k = 0xk−a1xk−1−⋯−ak=0
特征方程、递推方程的项数、特征方程的次幂数 :
特征方程、递推方程的项数 : 特征方程项的个数 与 常系数线性齐次 递推方程项的个数相同 , 有 k+1k+1k+1 项 ;
特征方程的次幂数 : 总共有 k+1k+1k+1 项 , 特征方程项的 xxx 的次幂 从 kkk 到 000 , 总共有 k+1k + 1k+1 项 ;
递推方程 与 特征方程关系 :
xkx^kxk 前的系数 111 对应 H(n)H(n)H(n) 项前的系数 111 ;
xk−1x^{k-1}xk−1 前的系数 −a1-a_1−a1 对应 H(n−1)H(n-1)H(n−1) 项前的系数 −a1-a_1−a1 ;
⋮\vdots⋮
- x0x^{0}x0 前的系数 −ak-a_k−ak 对应 H(n−k)H(n-k)H(n−k) 项前的系数 −ak-a_k−ak ;
由 递推方程 : H(n)−a1H(n−1)−a2H(n−2)−⋯−akH(n−k)=0H(n) - a_1H(n-1) - a_2H(n-2) - \cdots - a_kH(n-k) = 0H(n)−a1H(n−1)−a2H(n−2)−⋯−akH(n−k)=0
可以导出 111 元 kkk 次特征方程 : xk−a1xk−1−⋯−ak=0x^k - a_1x^{k-1} - \cdots - a^k = 0xk−a1xk−1−⋯−ak=0
该 111 元 kkk 次特征方程 称为 原递推方程的 特征方程 ;
该 111 元 kkk 次特征方程 有 kkk 个根 , 称为 递推方程 的特征根 ;
由递推方程到特征方程 ( 重点 ) :
- 递推方程标准形式 : 写出递推方程 标准形式 , 所有项都在等号左边 , 右边是 000 ;
- 特征方程项数 : 确定 特征方程项数 , 与 递推方程项数相同 ;
- 特征方程次幂数 : 最高次幂是 特征方程项数 −1-1−1 , 最低次幂 000 ;
- 写出 没有系数 的特征方程 ;
- 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ;
解出上述特征方程 , 就可以得到特征根 , 一般都是一元二次方程 ;
一元二次方程形式 ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0
解为 : x=−b±b2−4ac2ax = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac
二、特征方程与特征根 示例 ( 重要 )
1 . 斐波那契数列示例 :
( 1 ) 斐波那契数列 : 1,1,2,3,5,8,13,⋯1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , \cdots1,1,2,3,5,8,13,⋯
( 2 ) 递推方程 : F(n)=F(n−1)+F(n−2)F(n) = F(n-1) + F(n-2)F(n)=F(n−1)+F(n−2)
描述 : 第 nnn 项等于第 n−1n-1n−1 项 和 第 n−2n-2n−2 项之和 ;
如 : 第 444 项的值 F(4)=5F(4) = 5F(4)=5 , 就等于
第 4−1=34-1=34−1=3 项的值 F(4−1)=F(3)=3F(4-1)=F(3) = 3F(4−1)=F(3)=3
加上 第 4−2=24-2=24−2=2 项的值 F(4−2)=F(2)=2F(4-2) = F(2) =2F(4−2)=F(2)=2 ;
( 3 ) 初值 : F(0)=1,F(1)=1F(0) = 1 , F(1) = 1F(0)=1,F(1)=1
根据 F(0)=1,F(1)=1F(0) = 1, F(1) = 1F(0)=1,F(1)=1 可以计算 F(2)F(2)F(2) , 根据 F(1),F(2)F(1),F(2)F(1),F(2) 可以计算 F(3)F(3)F(3) , 根据 F(2)F(3)F(2)F(3)F(2)F(3) 可以 计算 F(4)F(4)F(4) , ⋯\cdots⋯ , 根据 F(n−2),F(n−1)F(n-2) , F(n-1)F(n−2),F(n−1) 可以计算 F(n)F(n)F(n) ;
2 . 写出斐波那契数列的特征方程 :
递推方程 : F(n)=F(n−1)+F(n−2)F(n) = F(n-1) + F(n-2)F(n)=F(n−1)+F(n−2)
( 1 ) 递推方程标准形式 : F(n)−F(n−1)−F(n−2)=0F(n) - F(n-1) - F(n-2) = 0F(n)−F(n−1)−F(n−2)=0
( 2 ) 递推方程写法 :
① 先确定特征方程的项数 : 与递推方程项数相同 , 333 项 ;
② 在确定特征方程 xxx 的次幂 : 从 3−1=23-1=23−1=2 到 000 ;
③ 初步写出没有系数的递推方程 : x2+x1+x0=0x^2 + x^1 + x^0 = 0x2+x1+x0=0
④ 填充系数 : 然后将没有系数的特征方程
x2+x1+x0=0x^2 + x^1 + x^0 = 0x2+x1+x0=0 与
F(n)−F(n−1)−F(n−2)=0F(n) - F(n-1) - F(n-2) = 0F(n)−F(n−1)−F(n−2)=0 对应位的系数填充到特征方程中 :
- x2x^2x2 前的系数 对应 F(n)F(n)F(n) 项前的系数 111 ;
- x1x^1x1 前的系数 对应 F(n−1)F(n-1)F(n−1) 项前的系数 −1-1−1 ;
- x0x^0x0 前的系数 对应 F(n−2)F(n-2)F(n−2) 项前的系数 −1-1−1 ;
则最终的 特征方程是 1x2+(−1)x1+(−1)x0=01 x^2 + (-1)x^1 + (-1)x^0 = 01x2+(−1)x1+(−1)x0=0 , 化简后为 :
x2−x−1=0x^2 - x - 1 = 0x2−x−1=0
特征方程的特征根是 : 上述方程的解就是特征根 , 一般都是一元二次方程 ;
x=1±52x = \cfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}x=21±5
参考 : 一元二次方程形式
ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0
解为 : x=−b±b2−4ac2ax = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac
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