【组合数学】递推方程 ( 非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根 | 求特解示例 )
文章目录
- 一、非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况
- 二、非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况 示例
一、非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况
常系数线性非齐次递推方程 : H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=f(n)H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = f(n)H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=f(n) , n≥k,ak≠0,f(n)≠0n\geq k , a_k\not= 0, f(n) \not= 0n≥k,ak=0,f(n)=0
上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是 000 , 而是一个基于 nnn 的 函数 f(n)f(n)f(n) , 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ;
非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况 :
如果上述 “常系数线性非齐次递推方程” 的 非齐次部分 f(n)f(n)f(n) 是指数函数 , βn\beta^nβn ,
如果 β\betaβ 是 eee 重特征根 ,
非齐次部分的特解形式为 : H∗(n)=PneβnH^*(n) = P n^e \beta^nH∗(n)=Pneβn ,
PPP 是常数 ;
将上述特解 H∗(n)=PneβnH^*(n) = P n^e \beta^nH∗(n)=Pneβn , 代入递推方程 , 求解出常数 PPP 的值 , 进而得到了完整的特解 ;
“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是 H(n)=H(n)‾+H∗(n)H(n) = \overline{H(n)} + H^*(n)H(n)=H(n)+H∗(n)
使用上述解出的 特解 , 与递推方程 齐次部分的通解 , 组成递推方程的完整通解 ;
二、非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况 示例
递推方程 : H(n)−5H(n−1)+6H(n−2)=2nH(n) - 5H(n-1) + 6H(n-2)=2^nH(n)−5H(n−1)+6H(n−2)=2n , 求特解 ?
查看其特征根 :
递推方程的标准形式是 : H(n)−5H(n−1)+6H(n−2)=2nH(n) - 5H(n-1) + 6H(n-2)=2^nH(n)−5H(n−1)+6H(n−2)=2n ,
齐次部分是 H(n)−5H(n−1)+6H(n−2)=0H(n) - 5H(n-1) + 6H(n-2)=0H(n)−5H(n−1)+6H(n−2)=0
写出特征方程 : x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0x2−5x+6=0 ,
特征根 q1=2,q2=3q_1= 2, q_2 = 3q1=2,q2=3
求该递推方程 非齐次部分对应的特解 ,
递推方程的标准形式是 : H(n)−5H(n−1)+6H(n−2)=2nH(n) - 5H(n-1) + 6H(n-2)=2^nH(n)−5H(n−1)+6H(n−2)=2n
非齐次部分是 2n2^n2n , 是指数函数 , 但是其底是 111 重特征根 ,
此时要使用底是 eee 重特征根的特解形式来构造特解 H∗(n)=PneβnH^*(n) = P n^e \beta^nH∗(n)=Pneβn
特解的形式是 H∗(n)=Pn12n=Pn2nH^*(n) = P n^1 2^n = Pn2^nH∗(n)=Pn12n=Pn2n , 其中 PPP 是常数 ;
将特解代入上述递推方程 :
Pn2n−5P(n−1)2n−1+6P(n−2)2n−2=2nPn2^n - 5P(n-1)2^{n-1} + 6P(n-2)2^{n-2} = 2^nPn2n−5P(n−1)2n−1+6P(n−2)2n−2=2n
所有项都构造 2n2^n2n
Pn2n−5P(n−1)2n2+6P(n−2)2n4=2nPn2^n - \cfrac{5P(n-1)2^{n}}{2} + \cfrac{6P(n-2)2^n}{4} = 2^nPn2n−25P(n−1)2n+46P(n−2)2n=2n
左右两侧都除以 2n2^n2n
Pn−5P(n−1)2+3P(n−2)2=1Pn - \cfrac{5P(n-1)}{2} + \cfrac{3P(n-2)}{2} = 1Pn−25P(n−1)+23P(n−2)=1
Pn−5Pn2+5P2+3Pn2−3P=1Pn - \cfrac{5Pn}{2} + \cfrac{5P}{2} + \cfrac{3Pn}{2} -3P = 1Pn−25Pn+25P+23Pn−3P=1
5P2−3P=1\cfrac{5P}{2} -3P = 125P−3P=1
−P2=1-\cfrac{P}{2} = 1−2P=1
P=−2P=-2P=−2
特解的形式 H∗(n)=Pn2nH^*(n) = Pn2^nH∗(n)=Pn2n , 其中 PPP 常数值为 −2-2−2 ;
特解为 H∗(n)=−2n2nH^*(n) = -2n2^nH∗(n)=−2n2n
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