【组合数学】递推方程 ( 常系数线性齐次递推方程 | 常系数、线性、齐次 概念说明 | 常系数线性齐次递推方程公式解法 | 特征根 | 通解 | 特解 )
文章目录
- 一、常系数线性齐次递推方程
- 二、常系数、线性、齐次 概念说明
- 三、常系数线性齐次递推方程公式解法
- 四、常系数线性齐次递推方程公式解法内容概要
一、常系数线性齐次递推方程
常系数线性齐次递推方程 :
{H(n)−a1H(n−1)−a2H(n−2)−⋯−akH(n−k)=0H(0)=b0,H(1)=b1,H(2)=b2,⋯,H(k)=bk\begin{cases} H(n) - a_1H(n-1) - a_2H(n-2) - \cdots - a_kH(n-k) = 0 \\\\ H(0) = b_0 , H(1) = b_1 , H(2) = b_2 , \cdots , H(k) = b_k \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧H(n)−a1H(n−1)−a2H(n−2)−⋯−akH(n−k)=0H(0)=b0,H(1)=b1,H(2)=b2,⋯,H(k)=bk
常系数 是指数列的 项之前的 系数 a1,a2,⋯,aka_1 , a_2 , \cdots , a_ka1,a2,⋯,ak 都是常数 , ak≠0a_k \not=0ak=0 ;
齐次 指的是将数列项移动到左边 , 右边项等于 000 ;
上述称为 kkk 阶 常系数线性齐次递推方程 ;
b0,b1,b2,⋯,bkb_0 , b_1, b_2 , \cdots , b_kb0,b1,b2,⋯,bk 是 递推方程的 kkk 个初值 ;
二、常系数、线性、齐次 概念说明
常系数、线性、齐次 概念说明 :
1 . 常系数概念 : 常系数指的是 T(n),T(n−1)T(n) , T(n-1)T(n),T(n−1) 这些 项之前的系数 , 都是常数 , 如 2T(n−1)2 T(n-1)2T(n−1) , T(n−1)T(n-1)T(n−1) 项前的系数是 常数 222 ;
之前栗子中介绍过的递推方程 , 如
- 汉诺塔递推方程 T(n)=2T(n−1)+1T(n) =2 T(n-1) + 1T(n)=2T(n−1)+1
- 插入排序递推方程 W(n)=W(n−1)+n−1W(n) = W(n-1) + n-1W(n)=W(n−1)+n−1
都是 常系数线性递推方程 , 不是齐次的 ;
2 . 线性概念 : 第 nnn 项是前面若干项 n−1n-1n−1 的 线性组合 , 没有指数等关系 , 因此成为线性 ;
3 . 齐次概念 : 在 T(n)T(n)T(n) 项之外没有其它元素 , 只有项 , 上述 T(n)=2T(n−1)+1T(n) =2 T(n-1) + 1T(n)=2T(n−1)+1 在项之外还有一个常数 111 , 该递推方程就不是齐次的 ; 如果改成 T(n)=2T(n−1)T(n) =2 T(n-1)T(n)=2T(n−1) , 该递推方程就是齐次的 ;
三、常系数线性齐次递推方程公式解法
1 . 特征根、通解、特解
特征根 : 根据原始的 递推方程 , 求出 特征根 ;
通解 : 利用 特征根 , 写出 通解 ;
特解 : 根据 通解 , 代入递推方程初值 , 获取针对这些初值的 特解 , 即针对该数列的解 ,
2 . 通解与特解的关系 :
递推方程与初值 : 递推方程的依赖关系 , 递推方程表达的不止一个数列 , 递推方程是 表达具有相同依赖关系的无穷数列 , 不同的递推方程初值 , 对应着不同的数列 , 递推方程 和 初值才能唯一确定一个数列 ;
递推方程、通解关系 : 通解 实际上是对递推方程 对应的 无穷数列 的共有的解 , 并 不能唯一确定一个数列 ;
特解、数列关系 : 通解的一些待定系数 , 要由初值确定 , 通解代入初值 , 得到的 特解 , 才能唯一确定给定数列 ;
四、常系数线性齐次递推方程公式解法内容概要
递推方程公式解法内容概要 :
- 特征方程与特征根
- 递推方程的解与特征根关系
- 解的线性性质
- 无重根下通解结构
- 有重根下通解结构
【组合数学】递推方程 ( 常系数线性齐次递推方程 | 常系数、线性、齐次 概念说明 | 常系数线性齐次递推方程公式解法 | 特征根 | 通解 | 特解 )相关推荐
- 【组合数学】递推方程 ( 非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根 | 求特解示例 )
文章目录 一.非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况 二.非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况 示例 一.非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况 常系数线性非齐次递推方程 : H( ...
- 【组合数学】递推方程 ( 特征方程与特征根 | 特征方程示例 | 一元二次方程根公式 )
文章目录 一.特征方程与特征根 二.特征方程与特征根 示例 ( 重要 ) 一.特征方程与特征根 常系数线性齐次递推方程标准型 : {H(n)−a1H(n−1)−a2H(n−2)−⋯−akH(n−k)= ...
- 【组合数学】递推方程 ( 递推方程解与特征根之间的关系定理 | 递推方程解的线性性质定理 | 递推方程解的形式 )
文章目录 一.递推方程解与特征根之间的关系定理 二.递推方程解的线性性质定理 三.递推方程解的形式 一.递推方程解与特征根之间的关系定理 特征根 与 递推方程的解 之间是存在关系的 , 如果知道了这个 ...
- 洛谷P5110：块速递推（特征根方程、光速幂）
解析 去你的搬砖生成函数,特征根太香了. 一开始我是用生成函数解的,和特征根相比有亿点点搬砖- 但是这个东西原理似乎使用一些神奇的等比差分,有些玄学,生成函数较易理解. 背下来背下来! 就以本题为情境 ...
- 特征根法--递推数列前4列
问题概述:求出第n个斐波那契数列的前4位,其中a[0]=0.a[1]=1,n可高达100000000 输入样例: 对应输出: 3 ...
- 利用配方法引入特征根法来求解二阶递推通项
利用配方法引入特征根法来求解二阶递推通项 引言 本文从配方法的角度引入特征法来求解二阶递推通项; 利用高中的知识水平便可以理解, 笔者观察相似文章皆是聚焦于通项的推导, 并未以思考的方式去回答为何做出 ...
- 利用特征根方程实现通项公式与递推关系的互换
转载一篇博文,学习了!主要运用在矩阵快速幂中,当给了一个通项公式,而n太大时,需要求出其递推关系,这篇文章讲的很好.基本上,只要看见 或者 都是这个套路. 下面是转载 考虑二阶常系数线性齐次递推数列 ...
- 三阶齐次线性方程求通解_已知一个三阶常系数线性齐次微分方程的特征根
[简答题]有人说:"电容器带电多电容就大,带电少电容就小,不带电则没有电容."这种说法对吗?为什么? [填空题]思维导图由 英国大脑基金会总裁,被誉为 的英国的 东尼 . 博赞发明 ...
- 抖音火爆的微信早安推送在线版，无需搭建代码，简单配置即可给心爱的他/她定时推送消息了
抖音火爆的早安推送在线版,无需搭建代码,简单配置即可给心爱的他/她定时推送消息了 只需通过简单的配置,无需自己搭建代码环境,申请各种api,甚至保持电脑程序开机等.配置完成后,即可实现每天定时配送. ...
最新文章
- centos6卸载mysql服务器_CentOS6.5下卸载自带的MySQL数据库安装MySQL5.6
- 今天清华学长手把手带你做UI自动化测试
- 基于OpenCV完成离散傅里叶变换
- 科普：String hashCode 方法为什么选择数字 31 作为乘子
- 单链表的C++实现（采用模板类）
- 设置vs2008代码区的背景色
- MySQL tips （日期时间操作／concat 等）
- 大数据分析双剑合璧：Apache Kylin 和 Superset
- 他在计算机上工作英语翻译,英语翻译1.尽管他在手术中割破了手,但他仍在继续工作.（in spite of）2.计算机在现代生活中起着重要的作用.（...
- 【Augmented Reality】增强现实中的光学透射式头盔显示器的标定深入
- 百度导航SDK升级适配 Anroid 11骑步导航闪退
- 柳下惠_拔剑-浆糊的传说_新浪博客
- 到底什么是非线性优化？
- PostgreSQL逻辑备份pg_dump使用及其原理解析
- table 点击文字按钮预览图片
- 一次让人晕到吐血的接包经历
- CX3 调试学习_持续更新（此文大部分对于初步使用没啥用，回头去公众号整理一个精简版配置应用教程）
- python海量数据分析师职业技能_大数据分析师技能图谱详解与零基础自学内容大全...
- 使用DIV+CSS布局设计个人主页 设计个人主页，使用DIV+CSS的方式进行页面布局。
- 无需埋点,使用App渠道统计SDK进行收集数据