DAG最长路（最短路）

DAG就是有向无环图。

DAG上的最长或者最短路是很重要的一类问题。很多问题都可以转化为DAG上的最长或者最短路径的问题。DAG求最短和最长路的方法一样。

本算法主要解决2个问题

1）求整个DAG中的最长路径（即不固定起点，也不固定终点）

2）固定终点，求DAG的最长路径。

1）求整个DAG中的最长路径（即不固定起点，也不固定终点）

dp【i】表示从 i 号顶点出发能获得的最长路径的长度

int DP(int i){if(dp[i] > 0){return dp[i];}for(int j = 0; j < n; j++){if(G[i][j] != INF){dp[i] = max(dp[i], DP(j) + G[i][j]);    //状态方程}}return dp[i];
}

入度为0的顶点出发最长路径长度就0，这就递归边界。

但是我们实际写的时候不妨对整个dp数组进行初始化为0，这样当dp函数访问的顶点i的出度为0的时候就会返回值0.（以此作为递归边界）。而出度不为0的就会自动递归求解。递归过程中，遇到已经计算过的顶点则直接返回对应的dp值，于是从程序逻辑上按照逆拓扑排序进行。

求路径

int DP(int i){if(dp[i] > 0) return dp[i];for(int j = 0; j < n; j++){if(G[i][j] != INF){int temp = DP(j) + G[i][j];   //单独计算以防调用Dp函数2次。 if(temp > dp[i]){dp[i] = temp;choice[i] = j;     //j是i的后继 }}return dp[i];}
}void printPath(int i){printf("%d", i);while(choice[i] != -1){i = choice[i];printf("->%d", i);}
}

如果有多条路径开个vector数组即可，并且这个是自动按字典序最小输出的。因为你循环的时候是从小到大循环找路径的。

至此，零dp【i】表示从i 顶点出发的最长路径已经求出来了。那么以i顶点结尾的最长路径长度怎么求呢？

2）固定终点，求DAG的最长路径。

可以想象只要把求解公式变一下就可以了

dp[i] = max(dp[j] + G[j][i]);

求解顺序变为拓扑排序

但是却不能直接得到字典序求出。

上面讨论的基础上，我们来讨论第二个问题，固定终点，求DAG的最长路径长度。假设终点为T，令dp【i】表示从i好顶点出发到达终点T能获得的最长路径长度。

那这与第一个有什么不同呢？

没错就是边界，第一求得边界是出度为0的点，dp值也为0，这个是求T点的DP值。

那么dp【T】 = 0

那么我们能不能还把其他的dp位置还设置为0呢？显然不行，因为由于冲没写顶点出发可能无法到达终点T，如果dp还是初始化为0那么就会得到错误的结果，我们应该初始化为-INF，如果是 +INF 会带来麻烦的（因为我们求的最长路）求最短路反之。

然后我们需要设置一个vis数组，表示这个顶点是否访问过

int DP(int i){if(vis[i]) return dp[i];vis[i] = true;for(int j = 0; j < n; j++){if( G[i][j] != INF){int temp = max (dp[i], DP(j) + G[i][j]);dp[i] = temp;}} return dp[i];
}

矩形嵌套问题：

最短路