【概述】

DAG 图的最长路问题是一个比较少见的问题，具体问题是：给出一个 DAG 图，寻找图中的最长路

在 AOE 网中，在找出关键路径后，对其进行 DFS 即可得到图的最长路，由于这种方法的实现过于繁琐，这里介绍几种较为简单的实现。

【最短路算法】

对于最短路算法，Floyd，Dijkstra、Bellman-Ford、SPFA 等，将其松弛操作进行修改，即可将最短路算法变为最长路算法。

以 Floyd 为例：

int G[N][N];
void Floyd(){for(int k=1;k<=n;k++)for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)if(i!=k&&j!=i&&j!=k)if(g[i][j]<g[i][k]+g[k][j])g[i][j]=g[i][k]+g[k][j];
}
int main(){int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&g[i][j]);Floyd();int res=-INF;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)res=max(g[i][j],res);printf("%d\n",res);return 0;
}

【拓扑排序】

在拓扑排序的过程中，不断记录路径，最后对路径进行排序，输出最大的那个即为 DAG 的最长路

struct Node{int to,dis;Node(){}Node(int to,int dis):to(to),dis(dis){}
};
vector<Node> G[N];
int in[N];
int dis[N];
int n,m;
void topSort() {stack<int > S;for(int i=1; i<=n; i++)if(!in[i])S.push(i);while(!S.empty()) {int x=S.top();S.pop();for(int j=0; j<G[x].size(); j++) {int y=G[x][j].to;dis[y]=max(dis[y],dis[x]+G[x][j].dis);in[y]--;if(!in[y])S.push(y);}}
}int main() {int T;scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d%d",&n,&m);memset(in,0,sizeof(in));memset(dis,0,sizeof(dis));for(int i=0; i<=n; i++)G[i].clear();for(int i=1; i<=m; i++) {int x,y,dis;scanf("%d%d%d",&x,&y,&dis);Node temp;temp.to=y;temp.dis=dis;in[y]++;G[x].push_back(temp);}topSort();int res=-INF;for(int i=1;i<=n;i++)res=max(res,dis[i]);printf("%d\n",res);}return 0;
}

【动态规划】

1.不固定终点起点

当给定一个 DAG 图时，要求整个图中所有路径中权值和最大的那条，即不固定终点和起点问题。

设 dp[i] 为从 i 点出发能获得的最长路径长度，G[i][j] 为从 i 点到 j 点的距离，这样所有的 dp[i] 的最大值就是整个 DAG 的最长路径长度，如果从 i 点出发，能直接到达顶点 j1、j2、...、jk，而 dp[j1]、dp[j2]、...、dp[k] 均已知，那么有：dp[i]=max{ dp[j]+G[i][j] }

根据上面的思路，由于最后的顶点没有出边，因此需要按照逆拓扑排序来求解 dp 数组，但可以利用递归来进行求解：由于从出度为 0 的顶点出发的最长路径长度为 0，因此边界就是这些点，在具体实现中不妨对整个 dp 数组初始化为 0，这样 DP 函数当前访问顶点i的出度为0时就会直接返回 dp[i]=0，而出度不为 0 的时候就会递归求解，递归过程中遇到已经计算过的顶点则直接返回对于的 dp 值，于是从逻辑上实现了逆拓扑排序的效果。

其基于邻接矩阵实现的代码如下：

int dp[N];//使用前整个数组设为0
int G[N][N];
int DP(int i) {if(dp[i]>0)return dp[i];for(int j=0; j<n; j++)//遍历i的所有可达出边if(G[i][j]!=INF)dp[i]=max(dp[i],DP(j)+G[i][j]);return dp[i];
}

当需要输出这条最长路时，可以利用一个 next 数组来记录 i 顶点的后继结点，再求完最长路后，顺序打印路径即可

int DP(int i) {if(dp[i]>0)return dp[i];for(int j=0; j<n; j++) { //遍历i的所有可达出边if(G[i][j]!=INF) {int temp=DP(j)+G[i][j];//单独计算dpif(dp[i]<temp) { //可以获得更长的路径dp[i]=temp;next[i]=j; //保存i的后继顶点j}}}return dp[i];
}
void printPath(int i) {//调用前需先获得最大的dp[i],然后将i作为路径的起点传入printf("%d",i);while(next[i]!=-1) { //next数组初始化为-1i=next[i];printf("->%d",i);}printf("\n");
}

2.固定终点起点

给定一个 DAG 图，给出一个起点和终点，要求从起点到终点的路径中权值和最大的那条，即固定终点和起点问题。

设规定的终点为 T，那么设 dp[i] 为从 i 号点出发到达终点 T 所能获得的最大长度，G[i][j] 为从 i 点到 j 点的距离，如果从 i 点出发，能直接到达顶点 j1、j2、...、jk，而 dp[j1]、dp[j2]、...、dp[k] 均已知，那么有：dp[i]=max{ dp[j]+G[i][j] }

可以发现，这个 dp 式子与上面不固定终点起点的问题相同，但问题的区别在于边界：

第一个问题中，没有固定的终点，因此边界为所有出度为 0 的顶点，其 dp 值为 0

第二个问题中，固定了终点，因此边界应当为 dp[T]=0，需要注意的是，由于从某顶点出发可能会无法到达终点 T，因此此时 dp 数组不能再全部初始化为 0，比较合适的做法是将 dp 初始化为一个极大的负数（-INF），来表达无法到达终点，然后设置一个 vis 数组来表示顶点是否已被访问

int vis[N];
int G[N][N];
int dp[N];//使用前初始化为-INF,且终点dp[T]=0
int DP(int i) {if(vis[i]) return dp[i];vis[i]=true;for(int j=0; j<n; j++) { //遍历i的所有可达出边if(G[i][j]!=INF) {dp[i]=max(dp[i],DP(j)+G[i][j]);}}return dp[i];
}

【例题】

Find the safest road（HDU-1596）(Floyd 变形求最长路)：点击这里
矩形嵌套（NYOJ-16）(dp 求最长路)：点击这里
Skiing（2017 ACM-ICPC 亚洲区(乌鲁木齐赛区)网络赛 H）(拓扑排序求最长路)：点击这里

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图论 —— DAG 图的最长路