Divan and bitwise operations 异或，同或，组合数学（1500）

题意：

原序列长为n，给m个连续子序列的左右端点的下标以及该连续子序列的或和，保证这m个连续子序列的并集包含原序列每一个点，求原序列的所有子序列的异或的和，输出任意一种

思路：

由于位运算对每个位都是独立的，考虑分别对每一位求解
首先看输入的给我们带来什么，对于[l,r]得到的同或和x，考虑它的某一位，如果这一位是0，说明[l,r]每个元素这位都是0，如果这一位是1，至少有1个1，后者没什么用
考虑某一位bit，一共有n个元素，假设有a个1，b个0，显然有a+b=na+b=na+b=n
我们如果要对结果（所有子序列异或和的总和），就要选出若干个元素使它们异或和为1，根据异或和的性质，需要选择奇数个1和若干个（0）0
选奇数个1的方案为Ca1+Ca3+...=2a−1C_{a}^{1}+C_{a}^{3}+... =2^{a-1}Ca1+Ca3+...=2a−1，选任意个0的方案为2b2^{b}2b
根据乘法原理，总方案数为2a−1∗2b=2a+b−1=2n−12^{a-1}*2^b=2^{a+b-1}=2^{n-1}2a−1∗2b=2a+b−1=2n−1，在当前bit位上贡献为1<<bit1<<bit1<<bit
所以对于每个位，只要有1，那么这个位对结果的贡献就是2n−1∗(1<<bit)2^{n-1}*(1 << bit)2n−1∗(1<<bit)，否则这个位对结果的贡献是0
假设bit位存在1，那么v中就可以拆除一块(1 << bit)，我们按照这种方法把v拆成若干个块，每个块都能产生这么多贡献，因此可以直接用v乘上2n−12^{n-1}2n−1得到答案
即，只要看哪些位有1，(1<<bit)∗2n−1(1<<bit)*2^{n-1}(1<<bit)∗2n−1即可，事实上，设置一个初始变量v为00…0，每次读入一个区间，都能知道哪些位现在至少有一个1，这个位可以被累加答案了，v|=x

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <unordered_set>
#include <math.h>
#define endl '\n'
#define fi first
#define se second
#define pb push_backusing namespace std;
using ll = long long;typedef pair<int, int> PII;const ll mod = 1e9 + 7;void solve()
{int n, m, v = 0; cin >> n >> m;for (int i = 1, l, r, x; i <= m && cin >> l >> r >> x; i ++ ) v |= x;ll fac = 1;for (int i = 1; i <= n - 1; i ++ ) fac = fac * 2ll % mod;cout << fac * v % mod << endl;
}int main()
{cin.tie(nullptr) -> sync_with_stdio(false);int _;cin >> _;while (_ -- )solve();return 0;
}

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