演算法 - 分治法（Divide-and-Conquer）

排版真的乱到一个￥*@#&？

一，Divide-and-Conquer（分治法）
二，Recurrences（递归）
- 1，替代法（Substitution method）
- 2，Tree Method
- 3，The Master Method
三，Divide-and-Conquer使用時機
四，遞迴演算法則的設計
- 1，Binary Search (二分搜尋)
五，总结
- 1，替代法（Substitution method）,
- 2，主方法（The Master Theorem）

一，Divide-and-Conquer（分治法）

分治法的设计策略包含下列步骤：

切割（Divide）：一个较大的问题切分成一个或多个小的问题。
征服（Conquer；或称为解决solve）：解决每一个较小的问题。

除非问题足够小否则使用递归来解决。

合并（Combine）：如果需要，将所有小问题的解答加以合并（combine），以获得原始问题的解答。
— 需要合并的问题：Merge Sort 归并排序
— 不需要和并的问题：Binary Search 二分搜索

二，Recurrences（递归）

递归是一个等式或不等式，它用函数在较小输入上的值来描述函数。

分治法求解递归式

Substitution method 替换法
Iteration method 策略迭代法
Master method 主项定理

Technicalities

We neglect certain technical details when we state and solve recurrences. A good example of a detail that is often glossed over is the assumption of integer arguments to functions. Boundary conditions is ignored. Omit floors, ceilings.
我们在陈述和解决复发时忽略了某些技术细节。一个经常被忽略的细节的好例子是对函数的整型参数的假设。忽略边界条件。省略下界和上界。

1，替代法（Substitution method）

使用步骤：

利用猜测、观察或汇整的方式，找出遞迴方程式的解
利用数学归纳法証明此解是正確的

Example：

Subtleties

Avoiding pitfalls

Changing variables

2，Tree Method

算法分析

Substitution Method

3，The Master Method

三，Divide-and-Conquer使用時機

下列兩種情況是適合使用Divide-and-Conquer設計策略 (也是遞迴演算法的適用時機)

问题本身具有递归关系
— 母问题可以被切分成较小的“相同”问题
— 如：階乘問題、費氏數問題、河內塔問題、快速排序問題、二元搜尋問題…等
资料结构属于递归定义
— 大量的Data Set，在切割后仍为一组具有“相同性质”的Data Set
— 如: 二元樹 (Binary Tree)、鏈結串列 (Link List)…等

四，遞迴演算法則的設計

1，找出問題的终止条件
2，找出問題本身的 递归关系（递归呼叫）
技巧:

思考遞迴呼叫需要哪些參數?
遞迴呼叫的傳回值為何?
遞迴呼叫的終止條件為何? 終止傳回何值?

1，Binary Search (二分搜尋)

实施前提：

檔案中記錄須事先由大到小排序過
須由Random (或Direct) access之機制支援 (e.g., Array)

原理：每次皆與Search範圍的中间值進行比較!!

python实现

# 返回 x 在 arr 中的索引，如果不存在返回 -1
def binarySearch (arr, l, r, x): # 基本判断if r >= l: mid = int(l + (r - l)/2)# 元素整好的中间位置if arr[mid] == x: return mid # 元素小于中间位置的元素，只需要再比较左边的元素elif arr[mid] > x: return binarySearch(arr, l, mid-1, x) # 元素大于中间位置的元素，只需要再比较右边的元素else: return binarySearch(arr, mid+1, r, x) else: # 不存在return -1# 测试数组
arr = [ 2, 3, 4, 10, 40 ]
x = 10# 函数调用
result = binarySearch(arr, 0, len(arr)-1, x) if result != -1: print ("元素在数组中的索引为 %d" % result )
else: print ("元素不在数组中")

算法分析
利用Time function

Review: Merge Sort

Time-Complexity
Avg. / Worst / Best Case：O(n log n)

以Recursive Merge Sort角度:

合併排序法包含了下列的步驟 :

**切割（Divide）**該陣列成為兩個具有 n/2 個項目的子陣列。
征服（Conquer或稱解決solve）每一個子陣列。
• 除非該子陣列夠小，否則使用递归來做這件事。
合并（Combine） 所有子陣列的所有解答，以獲得主陣列的解答。

五，总结

分治法求解递归式

Substitution method 替换法
Iteration method 策略迭代法
Master method 主项定理

1，替代法（Substitution method）,

使用步骤：

利用猜测、观察或汇整的方式，找出遞迴方程式的解
利用数学归纳法証明此解是正確的

由於利用此方法求解遞迴方程式，最難的地方就是如何去猜出或汇整出递归方程式的解。所以一般只適合當已有候選解時，用來驗証該解是否正確，也就是為了避開第一個步驟。

递归树法 (Recursion-tree Method)
適用於母問題由多个子问题所構成

使用一個树状结构表示遞迴演算法則在執行過程被递归呼叫的情況，這個樹狀結構稱為遞迴樹。其中:

Node： 存放遞迴關係式所相對應之子問題的Cost
Degree： 子問題的數目

遞迴樹法的三個步驟:

按照遞迴方程式展開
對每一层的所有子问题之cost加總，得到每一层的cost
加總每一層的cost，以得到total cost ，即為答案

通常只能求出Big-O或Ω，若要計算θ 得用“夾擠”法

范例一

范例二

2，主方法（The Master Theorem）

范例一

范例二

（2020年4月8日22:48:23）