Divan and bitwise operations

[Link](Problem - C - Codeforces)

题意

你有一个长度为nnn的数组，但是不知道每个数是什么，接下来给你mmm个区间，告诉你每个区间的数的或是多少，问你这个数组的每个子序列里的元素相异或的和为多少。

思路

发现我们可以将区间排序，类比于区间合并的思想，给每个位置一个恰好合适的值，然后我们知道了每一个数是什么，怎么来算子序列的异或和呢，直接枚举显然很不现实，因此我们按位枚举算贡献，先统计出来二进制每一位有多少个111，假设第iii位有kkk个111那么就有n−kn-kn−k个000，对于这一位要有贡献就要选奇数个111，即(1<<i)×(Ck1+Ck3+...+Ckk(偶数减1))×2n−k(1<<i)\times(C_k^1+C_k^3+...+C_k^{k(偶数减1)})\times2^{n-k}(1<<i)×(Ck1+Ck3+...+Ckk(偶数减1))×2n−k，枚举每一位算贡献即可。

知道Cn0+Cn2+...==Cn1+Cn3...==2n−1C_n^0+C_n^2+...==C_n^1+C_n^3...==2^{n-1}Cn0+Cn2+...==Cn1+Cn3...==2n−1，因为(1+1)n=Cn0+Cn1+...+Cnn,(1−1)n=Cn0−Cn1+...+(−1)nCnn=0(1+1)^n=C_n^0+C_n^1+...+C_n^n,(1-1)^n=C_n^0-C_n^1+...+(-1)^nC_n^n=0(1+1)n=Cn0+Cn1+...+Cnn,(1−1)n=Cn0−Cn1+...+(−1)nCnn=0。

所以贡献即(1<<i)×2k−1×2n−k=(1<<i)×2n−1(1<<i)\times 2^{k-1}\times 2^{n-k}=(1<<i)\times 2^{n-1}(1<<i)×2k−1×2n−k=(1<<i)×2n−1，发现每一位是否产生贡献只与这一位是否有111有关，因此直接将输入或一下，按位枚举即可，并不需要知道原来的数是什么。

Code

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <queue>
#include <vector>
#include <map>
#include <bitset>
#include <unordered_map>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <iomanip>
#include <deque>
#include <sstream>
#define x first
#define y second
#define debug(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;
using namespace std;
typedef long double ld;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<double, double> PDD;
typedef unsigned long long ULL;
const int N = 2e5 + 10, M = 2 * N, INF = 0x3f3f3f3f, mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-8, pi = acos(-1), inf = 1e20;
#define tpyeinput int
inline char nc() {static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
inline void read(tpyeinput &sum) {char ch=nc();sum=0;while(!(ch>='0'&&ch<='9')) ch=nc();while(ch>='0'&&ch<='9') sum=(sum<<3)+(sum<<1)+(ch-48),ch=nc();}
int dx[] = {-1, 0, 1, 0}, dy[] = {0, 1, 0, -1};
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
void add(int a, int b, int v = 0) {e[idx] = b, w[idx] = v, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
int n, m, k;
struct Node {int l, r;int x;bool operator <(Node t)const {if (l != t.l) return l < t.l;return r < t.r;}
}a[N];
int cnt[31];
LL b[N];
LL qmi(LL a, LL b) {LL res = 1;while (b) {if (b & 1) res = res * a % mod;a = a * a % mod;b >>= 1;}return res;
}
int main() {ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);int T;cin >> T;while (T -- ) {cin >> n >> m;int res = 0;for (int i = 1; i <= m; i ++) {int x; cin >> x >> x >> x;res |= x;}LL sum = 0;for (int i = 0; i < 30; i ++) if (res >> i & 1) sum = (sum + (1ll << i) * qmi(2, n - 1) % mod) % mod;cout << sum << endl;}return 0;
}

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