多元函数的极限与连续（一）

多元函数是一元函数的推广，对于多元函数我们将着重讨论二元函数.

定义域的变化：数轴上的点集 $\rightarrow$ 平面上的点集

点与点集的关系：内点，外点，界点；聚点，孤立点，外点.

$R^{2}$ 上的完备性定理

平面点列收敛的定义

设 $\{P_n\}\subset R^{2}$ 为平面点列， $P_0\subset R^{2}$ 为一固定点.若对任给的正数 $\varepsilon$ ，存在正整数N，使得当n>N时，有 $P_n\in U(P_0;\varepsilon )$ ,则称点列{Pn}收敛于点P哦，记作 $\lim _{n\to \infty }P_n=P_0$ 或 $P_n\to P_0,n\to \infty .$

柯西准则

平面点列{Pn}收敛的充要条件是：任给正数 $\varepsilon$ ，存在正整数N，使得当n>N时，对一切正整数p，都有 $\rho (P_n,P_{n+p})<\varepsilon .$

闭域套定理

设{Dn}是 $R^{2}$ 中的闭域列，它满足： $(i)D_n\supset D_{n+1},n=1,2,...;\\ (ii)d_n=d(D_n),\lim _{n\to \infty }d_n=0,$ 则存在唯一的点 $P_0\in D_n,n=1,2,...$

推论对上述闭域套{Dn}，任给 $\varepsilon >0$ ，存在 $N\in N_{+}$ ，当n>N时，有 $D_n\subset U(P_0;\varepsilon ).$

聚点定理

设 $E\subset R^{2}$ 为有界无限点集，则E在 $R^{2}$ 中至少有一个聚点.

致密性定理

有界无限点列 $P_n\subset R^{2}$ 必存在收敛子列 ${P_{n_k}}.$

有界覆盖定理

设 $D\subset R^{2}$ 为一有界闭域， $\{\Delta _\alpha \}$ 为一开域族，它覆盖了D（即 $D\subset \bigcup_{\alpha }\Delta _\alpha$ ）则在 $\{\Delta _\alpha \}$ 中必存在有限个开域 $\Delta _1,\Delta _2,...,\Delta _n,$ 它们同样覆盖了D（即 $D\subset \bigcup_{i=1 }^{n}\Delta _i$ ）.

二元函数的极限

二元函数极限的定义

设f为定义在 $D\subset R^{2}$ 上的二元函数，Po为D的一个聚点，A是一个确定的实数.若对任给正数 $\varepsilon$ 那个村，总存在某正数 $\delta$ ，使得当 $P\in U^{o}(P_0;\delta )\cap D$ 时，都有 $\left | f(P)-A \right |<\varepsilon ,$ 则称f在D上当 $P\rightarrow P_o$ 时以A为极限，记作 $\lim_{P\rightarrow P_O , P\in D}f(P)=A.$ 在对于 $P\in D$ 不致产生误解时，也可简单地写作 $\lim_{P\rightarrow P_O}f(P)=A.$ 当 $P,P_0$ 分别用坐标 $(x,y),(x_0,y_0)$ 表示时，也可写作 $\lim_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)=A.$

$\lim_{P\rightarrow P_O , P\in D}f(P)=A$ 的充要条件是：对于D的任一子集E，只要Po是E的聚点，就有 $\lim_{P\rightarrow P_O , P\in E}f(P)=A.$

设 $E_1\subset D$ ,Po是 $E_1$ 的聚点，若 $\lim_{P\rightarrow P_O , P\in E_1}f(P)$ 不存在，则 $\lim_{P\rightarrow P_O , P\in D}f(P)$ 也不存在.

设 $E_1,E_2\subset D$ ,Po是它们的聚点，若存在极限 $\lim_{P\rightarrow P_O , P\in E_1}f(P)=A_1,\lim_{P\rightarrow P_O , P\in E_2}f(P)=A_2,$ 但 $A_1\neq A_2$ 则 $\lim_{P\rightarrow P_O , P\in D}f(P)$ 不存在.

极限 $\lim_{P\rightarrow P_O , P\in D}f(P)$ 存在的充要条件是：对于D中任一满足条件 $P_n\neq P_0$ 且 $\lim_{n\rightarrow \infty }P_n=P_0$ 的点列{Pn}，它所对应的数列 $\{f(P_n)\}$ 都收敛.

二元函数非正常极限定义

设D为二元函数f的定义域， $P_0(x_0,y_0)$ 是D的一个聚点，若对任给正数M，总存在点Po的一个 $\delta$ 邻域，使得当 $P(x,y)\in U^{o}(P_0;\delta )\cap D$ 时，都有f(P)>M，则称f在D上当 $P\rightarrow P_o$ 时，存在非正常极限 $+\infty$ ，记作 $\lim_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)=+\infty$ 或 $\lim_{P\rightarrow P_O}f(P)=+\infty .$ 仿此可类似的定义 $\lim_{P\rightarrow P_O}f(P)=-\infty ,\lim_{P\rightarrow P_O}f(P)=\infty.$

重极限

极限 $\lim_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)$ 中，两个自变量x,y同时以任何方式趋于 $x_0,y_0$ ,这种极限也称为重极限.

累次极限

形如 $L=\lim _{y\to y_0}\lim _{x\to x_0}f(x,y),K=\lim _{x\to x_0}\lim _{y\to y_0}f(x,y).$

若f(x,y)在点 $(x_0,y_0)$ 存在重极限 $\lim_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)$ 与累次极限 $\lim _{x\to x_0}\lim _{y\to y_0}f(x,y),$ 则它们必相等.

若累次极限 $\lim _{y\to y_0}\lim _{x\to x_0}f(x,y),\lim _{x\to x_0}\lim _{y\to y_0}f(x,y)$ 和重极限 $\lim_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)$ 都存在，则三者相等.

若累次极限 $\lim _{x\to x_0}\lim _{y\to y_0}f(x,y)$ 与 $\lim _{y\to y_0}\lim _{x\to x_0}f(x,y)$ 存在但不相等，则重极限 $\lim_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)$ 必不存在.