多元函数的极限与连续

一、基本概念

1.1 总论

我觉得进到多元范畴，有两点是重要的，一个是形式的统一，另一个是条件的强弱。形式的统一有两个方面，一个是把新的概念用旧的概念解释，一个是将旧的概念，狭义的概念用新的概念，普世的概念重新理解，这一部分我做的还可以。条件的强弱做的不够好，在讨论单元函数条件的时候，就没有可以与新学的知识互相启发的可能。条件的强弱是应该有感情的，我在新学的知识的条件方面做的还可以，可以弥补部分基础知识，但是对于高深的知识，比如泰勒，积分在级数方面的应用，就十分不敏感。

1.2 距离

首先应当明确，距离并不是每一个空间的必要特征，但是是进行数学分析的必要特征。定义距离需要内积的概念，内积衍生出了距离和角度两个概念。所以其实距离并不是基本概念，但是显然距离才比较与数学分析体系兼容，角度只在正交的时候才比较明显。距离在一元函数中表现为绝对值，要注意这种概念的迁移性。

1.3 有界

就是有一个球可以把整个集合包进去，球的半径就是刚才定义过的距离。

1.4 极限

极限也是很好定义的，就是在一个一定小的开球里，里面的值都是跟某个值的距离任意小。我列于此是想强调，极限是最弱的条件，其上是连续，说的是在一个开球附近的值距离开球圆心的值任意小，它限定了某个值必须是该点的函数值，同时提供了一种求极限的方法，就是代值进函数，因为在一元时，函数基本上都是连续的，所以求极限显得很显然，而且我们还有一大堆好使的工具，比如洛必达、泰勒、等价无穷小。反正就是大概都不会用定义来求极限，但是在多元函数中，洛必达是偏导，而不是微分，所以没法用于极限。泰勒是微分，但是各种项数过多，即使转换成多项式，也很难求极限。等价无穷小倒是在化简函数结构的时候有用，但是基本上十分显然。所以难点其实就是利用定义证明，那么放缩，利用条件就是重中之重，也是这全节的难点。

1.5 各种点

1.5.1 内点

如果有一个以某一点为球心的一定小的开球包在这个集合中，就称这个点是集合的内点。内点是一定在集合内部的，这也是它姓名的由来。我们管由内点组成的集合叫做开集，开集的补集叫做闭集。

1.5.2 边界点

如果有一个以某点为圆心的任意开球中都有这个集合中的点，又有不是这个集合中的点，那么就称这个点是边界点，注意边界点可能属于这个集合，也可能不属于这个集合。我们管由边界点组成的集合叫做集合 EEE 的边界，记作 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \part at position 1: \̲p̲a̲r̲t̲ ̲E 。这种记法需要记忆。

1.5.3 外点

如果有一个以某一点为球心的一定小的开球包在这个集合的补集中，就称这个点是集合的外点。外点一定在集合外部。

1.5.4 聚点和孤立点

如果对于一个以某点为球心的任意的空心开球中，都有集合中的点，那么就称这个点为聚点，聚点可以不在集合中，如果一个点在集合中而不是聚点，那么他就是孤立点。也就是说孤立点一定在集合中。

1.5.6 各种点的关系

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1.6 各种集合

1.6.1 开集和闭集

注意到开集并不等价或者相似于开区间，它更像开覆盖的概念，因为集合并没有要求里面的点必须构成一个整体，它可能是多个范围的并集。

有限多个开集的交是开集，任意多个开集的并是开集。任意多个闭集的交是闭集，有限多个闭集的并是闭集。

1.6.2 区域和道路联通

为了形容我们认知中的一个范围，我们给了区域的概念，它等价于开区间，区域的闭包被称为闭区域。注意不是道路联通的闭集。比如
{(x,y)∣xy>=0}\{(x,y)|xy>=0\} {(x,y)∣xy>=0}
它就不是一个闭区域，这是因为 xy>0xy>0xy>0 不是一个开区域，因为没办法经过原点，第一三象限就没有办法沟通。

道路联通就是为了形容一个范围引入的概念。

1.6.3 导集

导集是集合 EEE 所有聚点的集合，因为聚点有可能属于 EEE，也有可能不属于，所以导集有的时候比集合大，有的时候比集合小，比如开集的导集就比原集合大（加了边界点），但是一个点的导集就比原集合小（导集是∅）。

导集一定是闭集。

当导集属于原集合的时候，原集合一定是闭集。

1.6.4 闭包

正因为导集和原集合忽大忽小，所以如果将它们取并，就可以得到一个最大的集合了，也就是闭包。闭包的抽象意思大概是由原集合拓展出来的，具有某种性质的集合。所以他一定比原集合大（不小），且具有闭集的性质。

闭包一定是闭集。是建立在前面的导集的性质上的一个显然事实。

二、连续与极限

2.1 总论

还是要强调，极限存在是连续、导数、积分的基础。所有的问题大多转化成极限问题。

2.2 重极限和累次极限

重极限就是不断小的圆盘中确定的值，而累次极限是沿一条线趋于那个点，进而得到那个极限值。重极限和累次极限的条件没有强弱之分。这是因为两者都对取极限的过程做出了不同的限制。对于重极限，x和y的变化必须是同时的，是一起的。对于累次极限，必须先把一个定死，这限制了其他的可能，有的甚至办不到，比如函数里面有 sin⁡(1x)\sin(\frac{1}{x})sin(x1) 的结构，在重极限中可以放缩，但是累次极限不可以。

2.3 极限存在和不存在

证明极限存在在前面已经论证过了难度，所以大致的方向一般分为两种。一种是不等式放缩。
xy<(x+y)24<x2+y22xy<\frac{(x+y)^2}{4}<\frac{x^2+y^2}{2} xy<4(x+y)2<2x2+y2
可以看得到，代表距离的平方和是在最后的，这为放缩提供了优势，然后一般还会结合三角函数，对于 sin⁡x\sin xsinx 可以放成 x ；对于 sin⁡(1x)\sin(\frac{1}{x})sin(x1) ，可以放成 1。这样就可以处理一般的题目了。

还有一种方法是极坐标代换，只要里面的 θ\thetaθ 不影响极限值，就可以证明极限存在。

对于证明极限不存在，总的思路是这样的，沿某个方向去取极限（不一定是直线，还可以是曲线），发现极限不存在或者两个极限不存在。

对于证两个极限不同，对于分子是乘积形式的，有一个极限肯定是0，在代一个 y=xay=x^ay=xa 使得分子和分母最低次数相等，比如
lim⁡n→∞x2y2x3+y\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^2y^2}{x^3+y} n→∞limx3+yx2y2
可以代 y=x12y=x^{\frac{1}{2}}y=x21 虽然有违我的本意，但是好像现在证出极限不存在来了。

也可以用 y=kxy=kxy=kx 就可以证出一些问题，也可以用极坐标代换，实在不行在构造多项式。