欧拉定理以及欧拉降幂

2024-04-27 09:35:21

大数幂运算指数太大的时候我们需要进行降幂操作

首先呢认识欧拉定理之前先了解一下欧拉函数链接欧拉函数

欧拉定理

我们将欧拉函数写作 $\varphi (n)$

欧拉定理就是 a n为正整数且 a n 互质那么 $a^{\varphi (n)}\equiv 1$ (mod n)

那么根据欧拉定理的式子我们可以转化为 $a^{\varphi (n)}%n$ %n $\equiv$ 1

那么既然 $a^{\varphi (n)}%n$ 在mod n的情况下恒等于 1

那么就得到了我们用来降幂的公式 $a^{b}=a^{b \% \varphi (n)}$ (mod n)

扩展欧拉定理

扩展呢就是把互质推广到所有情况嘛
如果欧拉定理中的 a n不互质了则有如下公式

$a^{b}\equiv \left\{\begin{matrix} a^{b}(\mod n) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b< \varphi (n)\\ \\a^{b\%\varphi (n)+\varphi (n)}(\mod n ) \ \ \ \ \ b\geq \varphi (n) \end{matrix}\right.$

降幂

如果a n互质我们就根据欧拉定理降幂

$a^{b}=a^{b \% \varphi (n)}$ (mod n)

如果不互质我们就根据扩展欧拉定理降幂

我们在求 $a^{b}$ % n 的时候可以通过判断 $\varphi (n)$ 来转成上面的两个式子之一

就完成降幂了

练习题目的话

牛客寒假算法基础集训营4 E题

代码

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+7;
const int mod=1e9+7;
char a[maxn],b[maxn];
ll pow_mod(ll x,ll n){ll ans=1;x=x%mod;while(n!=0){if(n&1)ans=ans*x%mod;n>>=1;x=x*x%mod;}return ans;
}
int main(){//先通过欧拉函数 计算出mod 的欧拉函数是 1000000006 也就是mod-1scanf("%s%s",a,b);int l=strlen(a);ll n=0;for(int i=0;i<l;i++){n=(n*10+a[i]-'0')%(mod-1);//所以这里使用 mod-1 降幂}printf("%lld\n",pow_mod(2,n));return 0;
}

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