欧拉降幂和广义欧拉降幂

先百度贴个欧拉定理

由此可以得到降幂公式

第一个要求a和p互质，第二个和第三个是广义欧拉降幂，不要求a和p互质，但要求b和的大小关系。

那么有了这个公式先写个题目 bzoj3884

题意：求2^(2^(2^(2^(2^...)))) mod p的值

思路:这样子每次求p的欧拉函数，求解log(p)次左右p就变成1了，那么再往后结果都是0了。题解上写的很清楚。

贴个出题人的题解。

代码如下。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;ll ph(ll x)
{ll res=x,a=x;for(ll i=2;i*i<=x;i++){if(a%i==0){res=res/i*(i-1);while(a%i==0) a/=i;}}if(a>1) res=res/a*(a-1);return res;
}
ll quick_pow(ll a,ll b,ll mod)
{ll ans=1;while(b){if(b&1) ans=(ans*a)%mod;a=(a*a)%mod;b>>=1;}return ans;
}
ll f(ll p)
{if(p==1) return 0;ll k=ph(p);return quick_pow(2,f(k)+k,p);
}int main()
{int T;scanf("%d",&T);while(T--){ll p;scanf("%lld",&p);printf("%lld\n",f(p));}return 0;
}

那么再来一题

FZU 1759

思路:B很大，所以需要降幂，套一下公式求一下就行了。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll __int64
#define mod 10000000007
using namespace std;
char a[1000006];
ll x,z;
ll quickpow(ll x,ll y,ll z)
{ll ans=1;while(y){if(y&1)ans=ans*x%z;x=x*x%z;y>>=1;}return ans;
}
ll phi(ll n)
{ll i,rea=n;for(i=2;i*i<=n;i++){if(n%i==0){rea=rea-rea/i;while(n%i==0)n/=i;}}if(n>1)rea=rea-rea/n;return rea;
}
int main()
{while(scanf("%lld %s %lld",&x,a,&z)!=EOF){ll len=strlen(a);ll p=phi(z);ll ans=0;for(ll i=0;i<len;i++)ans=(ans*10+a[i]-'0')%p;ans+=p;printf("%lld\n",quickpow(x,ans,z));}return 0;
}

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