二元函数对xy同时求导_二元函数的连续、可偏导、可微、偏导数连续之间的关系...

设二元函数

为定义在点集

上的函数。

二元函数连续性的定义：设

（它或者是

的聚点，或者是

的孤立点）。对于任给的正数

，总存在相应的正数

，只要

，就有

则称

关于集合

在点

连续。简称

在点

处连续。

注：二元函数连续性的定义与一元函数连续性的定义有所不同，在一元函数的连续性的定义中，要求函数

必须在

的某一邻域

上有定义，并且要求的是

,当

时，

,则称函数

在

处连续。注意到二元函数在定义连续的概念的时候并不是要求函数必须在连续点

的某一邻域

上有定义，只要保证该点是函数的聚点即可，并且对于不是聚点的孤立点仍然可以定义其为连续点（只需要将孤立点带入二元函数连续性的定义加以验证即可发现孤立点也满足该连续性的定义）。因此在二元函数中，聚点和孤立点是连续点的必要条件，即二元函数的连续点必是该函数的聚点或孤立点中的一种。

二元函数可微的定义：设

,二元函数

在

的某邻域

上有定义，对于

中的点

,若函数

在点

处的全增量

可表示为

，

其中

是仅与点

有关的常数，

是较

高阶的无穷小量,则称函数

在点

处可微,并称

为函数

在点

的全微分，记作

。

由二元函数可微的定义易知，若函数在点

处可微，当

时，

,即函数在点

处连续，这个结论与一元函数中连续与可微的关系是相同的。

二元函数的偏导数的定义：

前言：所谓偏导数，不同于一元函数中的导数，由于二元函数定义域是二维的关系，由于二维图形方向的复杂性，导致并不能运用一元函数的导数概念来研究二元函数，因此可采用退而求其次的方式，来研究单一方向上的导数的问题，于是我们选取两个最一般的方向，即与

轴和

轴平行的方向来研究这两个方向上的导数的问题，这便是偏导数概念的由来，若二元函数

在点

处可微，即

,由于我们要研究单一方向上的导数的问题，不妨令

,即

,于是

,同理令

，可知

,由此我们得到了计算全微分中

系数的方法，由二元函数在点

处可微知，极限

与极限

一定存在，这两个极限就是我们下面要定义的偏导数的概念，由此可知，二元函数在某点处可微，那么该二元函数一定在该点处对

和

均可偏导。

定义：设函数

。若

,且

在

的某一邻域内有定义，则当极限

存在时，称这个极限为函数

在点

关于

的偏导数，记作

或

同理可定义

在点

关于

的偏导数，这里就不再赘述了。

由偏导数的定义可以看出，在对二元函数

求关于

的偏导数时，只需将

看作常数，相当于对一元函数求导，因此二元函数的求偏导问题就转换成一元函数的求导问题。

在上面的前言中，我们就已经知道了，若函数

在点

处可微，那么函数在该点处一定对

均可偏导，那么反过来，如果二元函数在点

同时对

可偏导，那么是否该函数在点

处可微呢？请看下面的例子：

考虑函数

,在原点的可微性。

解：按偏导数的定义，

,同理可得

,则

则

由于极限

不存在，故函数

在点

处不可微。

由这道例题可知，函数

在某点处同时对

可偏导是函数

在这点处可微的必要条件。

那么在函数可偏导的条件下添加什么样的条件能保证函数

在该点处可微呢？

二元函数可微的充分条件：若二元函数

的偏导数在点

的某邻域上存在，且

与

在点

处连续，则函数

在点

处可微。

证明：将全增量

写作

在第一个括号里，它是函数

关于

的偏增量。在第二个括号里，则是函数

关于

的偏增量，由一元函数的拉格朗日中值定理知：

由于

在点

处连续，即

即当

时，

其中

为

时的无穷小量。

同理可得，当

时，

其中

为

时的无穷小量。

于是，

即

所以

由于

由极限的迫敛性知，

即函数

在点

处可微。

反过来，如果函数

在点

处可微的话，是否能推导出函数

的偏导数

在点

处连续呢？请看下面的例子：

考虑函数

，

可验证该函数在原点

处可微，但

与

却在点

处不连续。

若函数

在点

的偏导数

连续，则称

在点

连续可微。

在上面的叙述中，我们知道了二元函数在一点处可微，则它在该点处一定连续，且一定存在关与

的偏导数，二元函数在某一点处连续同样不能推导出二元函数在该点处可偏导，如函数

（圆锥）在原点处连续，但是在该点处不存在偏导数。反过来，即使二元函数在某一点处存在对所有自变量

的偏导数，也不能保证二元函数在该点处连续，例如，

，在原点处不连续，但却存在偏导数

。

这是因为偏导数仅仅只是刻画了二元函数沿

轴或沿

轴方向的变化特征，所以偏导数都存在只能说明

在原点分别对

和对

必定连续，但由此并不能保证二元函数

在原点的连续性。

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