现代数字信号处理总结下

第5章维纳滤波在信号处理中的应用

导语

本博客全部参考于UESTC电工学院何子述老师讲义复习而得，如有转载请保留此句！

5.1 线性预测与AR模型

满足维纳-霍夫方程的线性预测称为最佳线性预测，简称线性预测

线性预测与AR模型互为逆系统关系，权系数满足一定的关系。

LP(M)实际上是将AR(M)通过滤波变成了白噪声过程。线性预测器也被称为白化滤波器

实际应用：声音信号通过LP (M )变为白噪声，同时得到权系数w和最小误差（代价）J. 将二者传送到接收端，接收端根据权系数w得到系数a, 作为AR（M）模型的参数，并以白噪声等于最小误差作为AR模型的输入，便可恢复出原讲话者的声音信号。

5.2 基于线性预测器的AR模型功率谱估计

利用N个观测样本作为LP (M )的输入，应用维纳滤波器的LMS等自适应迭代算法，求出权向量和最小均方误差，就可以得到AR模型的参数和输出白噪声方差。

具体实现时，利用前向线性预测（FLP）和后向线性预测（BLP）进行因此估计。并且在最小均方误差意义下，用FLP和BLP估计权向量时，效果是相同的。

Burg算法：根据N个观测样本估计各阶FBLP的发射系数，并利用a(i)与发射系数k(i)的关系，最终可得到M阶LP(M)系数，再利用线性预测与AR(M)模型互为逆系统的结论，可以得到AR(M)系数，最终得AR(M)功率谱估计。

了解信道均衡和自适应均衡的概念。

第6章最小二乘估计理论及算法

6.1 最小二乘估计理论

独立方程个数大于未知数的数目，即超定线性方程组，此时使误差向量在某种意义下取得最小值，在最小二乘（Least Squares）意义下，使估计误差的模的平方和的解为最小二乘解。

横向滤波器的设计原则是，寻找权向量使得误差信号在某种意义下取得极小值。

要求得J的最小值，首先求J关于w的梯度，令梯度为0，得到确定性正则方程，得到最小二乘解。

LS估计的正交性：误差向量与数据矩阵正交，与估计输出向量正交。

最小二乘方法与维纳滤波器的关系：

代价函数

在维纳滤波中，代价函数是均方误差。在最小二乘估计中，代价函数定义为误差信号有限个样本的模的平方和。

维纳霍夫方程与确定性正则方程

若随机过程u(n) 是各态历经的平稳随机过程,当观测样本数趋于无穷大时，确定性正则方程逼近维纳- - 霍夫方程，或最小二乘方法逼近维纳滤波。

因此，可以这样认为，最小二乘方法(LS估计)是维纳滤波(MMSE估计)在有限个观测值时的时间平均近似；或者说，当观测样本数趋近于无穷大时，LS估计将逼近MMSE估计。

6.2 用奇异值分解求解最小二乘问题

在工程实际中，若直接求解确定性正则方程，不仅计算量大，还可能发散，工程上也不易实现。因此考虑使用矩阵的奇异值分解来求解确定性正则方程。

用奇异值分解求解确定性正则方程求解分为两种情况，矩阵A(H)A为非奇异的或者奇异的，但是最终经过计算发现，二者计算结果表达式是一致的。因此，直接计算A的奇异值分解，而不用考虑A(H)A是否奇异。

对A进行奇异值分解，得到K个非零奇异值和对应的右奇异向量，从而计算权系数w.

6.3 基于LS估计的FBLP原理及功率谱估计

进一步探讨线性预测问题，推导出前后向线性预测的确定性正则方程。最后将利用奇异值分解的方法实现FBLP功率谱的估计。

6.4 递归最小二乘（RLS）算法

M抽头FIR滤波器的权向量满足的确定性正则方程,对其扩展、替换、引入遗忘因子、对角加载、最小二乘估计最后迭代预算求解。

6.5 基于QR 分解递归最小二乘（QRLS ）算法原理

基于Givens 旋转的QR-RLS，对方程左边变成一上三角矩阵，从而实现QR 分解。

利用Givens旋转直接得到估计误差信号

第7章卡尔曼滤波

本章要回答的问题是：采用迭代方法直接利用观测数据进行运算，可得到原系统状态向量的估计。

介绍新息过程的概念

然后导出卡尔曼滤波算法，讨论其统计性能和推广

介绍卡尔曼滤波在目标跟踪等方面的应用

第8章阵列信号及空域滤波

阵列接收信号模型

空间谱估计与DOA估计

基于MUSIC算法的信号DOA估计方法

信号DOA估计的ESPRIT算法

空域滤波与数字波束形成

基于MVDR算法的DBF算法

第9章盲信号处理

盲信号处理的基本概念

Bussgang盲均衡原理

SIMO信道模型及子空间盲辨识原理

SIMO信道的CR盲辨识原理及自适应算法

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本博客全部参考于UESTC电工学院何子述老师讲义复习而得，如有转载请保留此句！

5.1 线性预测与AR模型

满足维纳-霍夫方程的线性预测称为最佳线性预测，简称线性预测

线性预测与AR模型互为逆系统关系，权系数满足一定的关系。

LP(M)实际上是将AR(M)通过滤波变成了白噪声过程。线性预测器也被称为白化滤波器

5.2 基于线性预测器的AR模型功率谱估计

利用N个观测样本作为LP (M )的输入，应用维纳滤波器的LMS等自适应迭代算法，求出权向量和最小均方误差，就可以得到AR模型的参数和输出白噪声方差。

具体实现时，利用前向线性预测（FLP）和后向线性预测（BLP）进行因此估计。并且在最小均方误差意义下，用FLP和BLP估计权向量时，效果是相同的。

了解信道均衡和自适应均衡的概念。

第6章 最小二乘估计理论及算法

6.1 最小二乘估计理论

独立方程个数大于未知数的数目，即超定线性方程组，此时使误差向量在某种意义下取得最小值，在最小二乘（Least Squares）意义下，使估计误差的模的平方和的解为最小二乘解。

横向滤波器的设计原则是，寻找权向量使得误差信号在某种意义下取得极小值。

要求得J的最小值，首先求J关于w的梯度，令梯度为0，得到确定性正则方程，得到最小二乘解。

LS估计的正交性：误差向量与数据矩阵正交，与估计输出向量正交。

最小二乘方法与维纳滤波器的关系：

在维纳滤波中，代价函数是均方误差。在最小二乘估计中，代价函数定义为误差信号有限个样本的模的平方和。

若随机过程u(n) 是各态历经的平稳随机过程,当观测样本数趋于无穷大时，确定性正则方程逼近维纳- - 霍夫方程，或最小二乘方法逼近维纳滤波。

因此，可以这样认为，最小二乘方法(LS估计)是维纳滤波(MMSE估计)在有限个观测值时的时间平均近似；或者说，当观测样本数趋近于无穷大时，LS估计将逼近MMSE估计。

6.2 用奇异值分解求解最小二乘问题

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用奇异值分解求解确定性正则方程求解分为两种情况，矩阵A(H)A为非奇异的或者奇异的，但是最终经过计算发现，二者计算结果表达式是一致的。因此，直接计算A的奇异值分解，而不用考虑A(H)A是否奇异。

对A进行奇异值分解，得到K个非零奇异值和对应的右奇异向量，从而计算权系数w.

6.3 基于LS估计的FBLP原理及功率谱估计

进一步探讨线性预测问题，推导出前后向线性预测的确定性正则方程。最后将利用奇异值分解的方法实现FBLP功率谱的估计。

6.4 递归最小二乘（RLS）算法

M抽头FIR滤波器的权向量满足的确定性正则方程,对其扩展、替换、引入遗忘因子、对角加载、最小二乘估计最后迭代预算求解。

6.5 基于QR 分解递归最小二乘（QRLS ）算法原理

基于Givens 旋转的QR-RLS，对方程左边变成一上三角矩阵，从而实现QR 分解。

利用Givens旋转直接得到估计误差信号

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