前言

复指数信号与傅里叶分析

LTI系统对复指数信号的响应

连续周期时间信号的傅里叶级数（FS）

离散时间复指数信号的周期性质

离散周期信号的傅里叶级数（DFS）

傅里叶级数与线性时不变系统

滤波器简介

周期方波的傅里叶级数系数

连续时间傅里叶变换（FT）

周期信号的傅里叶变换

几个判断线性时不变系统的精彩例子

连续时间傅里叶变换的共轭与共轭对称性

连续时间傅里叶变换的性质

离散时间傅里叶变换（DTFT）

离散周期信号的傅里叶变换

小叙一句

DFT的准备（一）（对离散序列的傅里叶分析大总结）

DFT的准备（二）（对离散时间傅里叶变换DTFT采样）

终于到来的DFT

傅里叶分析中的时频域之间的关系（以及一点对于DFT的一点思考）

前言

不算暑假的这一个星期，这大概两个星期的日子了，写了不少的关于数字信号处理的博文，之所以是初级数字信号处理，是因为这些只是一些皮毛，还没有涉及到数字信号处理（二）以及阵列信号处理的内容，这些内容之后我也会写的。初级数字信号处理整理的初衷：

一方面是我想为学习阵列信号处理以及滤波器（数字信号处理二）做准备，知识要成一个体系嘛！

另一方面，我是实在想弄懂DFT以及FFT，是弄懂，不只是记住公式而已！它的前世今生，以及各种傅里叶变换以及级数之间的联系，这是本科时期的一个痛点，那时候对这些内容十分迷惑，到了今天还不是太清楚，心里过意不去呀！

闲话不说了，把这个系列的历程整理如下：

为了给离散信号处理打基础，做铺垫，自然少不了信号与系统中的各种变换，这里只写了主要的傅里叶分析，所以拉普拉斯变换不在其中，只是偶尔简单提到而已。

复指数信号与傅里叶分析

复指数信号对于傅里叶级数，傅里叶变换，以及线性时不变系统的重要性不言而喻，这里由相关博文介绍关于它的一些知识。

LTI系统对复指数信号的响应

1 线性时不变系统（LTI）对复指数信号的响应（数字信号处理的特征值与特征函数）

通过这篇博文，我们能够认识到复指数信号对于数字信号处理这门课的重要性，可谓是贯穿始终的存在。连续周期信号的傅里叶级数表示是通过连续复指数信号的线性组合得到的；连续非周期信号的傅里叶变换对，连续复指数信号必不可缺。

离散周期序列的傅里叶级数（DFS）也是由离散复指数信号的线性组合得到，离散非周期信号的DTFT自然也不必说。

不仅如此，复指数信号还是LTI系统的特征函数，这样复指数信号的重要性，更不必说了，具体看看这篇博文吧！

连续周期时间信号的傅里叶级数（FS）

2 （连续）周期信号的傅里叶级数（FS）

这篇博文就具体展示了如何由连续复指数信号的线性组合来表示一个周期信号。同时给出了傅里叶级数系数，也叫做频谱系数的计算公式以及推导过程。

离散时间复指数信号的周期性质

3 离散时间复指数序列的周期性质

单独列出来离散时间复指数序列的原因在于它与连续时间复指数序列之间的一些不同，需要单独来说明，这对于后面讨论离散周期序列的傅里叶级数来说很有必要，例如，在DFS中，为什么只需要有限个成谐波关系离散复指数序列的线性组合来表示一个离散周期序列呢？看了这篇博文就有利于后面的理解。

离散周期信号的傅里叶级数（DFS）

4 离散周期信号的傅里叶级数（DFS）

DFS采用与连续周期信号的傅里叶级数（FS）完全平行的方式来引出、描述以及推导，连续与离散相结合的方式有利于理解，而彻底地理解需要的是耐心与次数。

前面写了离散复指数序列的周期性质，有了那篇博文，这篇博文的理解自然也不成问题了。

傅里叶级数与线性时不变系统

5 傅里叶级数与线性时不变系统

有了前面第一篇博文，也就是LTI系统对复指数信号的响应，这个响应有一个十分简洁的表示，响应也是一个复指数信号，只不过系数变得不同了而已。

这样的话，由于周期序列可以用傅里叶级数的形式来表示，而傅里叶级数是复指数信号的线性组合，那么LTI系统对于周期序列的响应岂不是也很简洁，确实如此。

博文中由这么一句话：“线性时不变系统的作用就是通过乘以响应频率点上的频率响应值来逐个改变输入信号的每一个傅里叶系数。”，这句话的意思就是LTI的作用就是改变了每一个频率点上的傅里叶系数。（简单的说就是改变了傅里叶系数。）

滤波器简介

6 滤波器简介

根据滤波器的定义：用于改变频谱形状的线性时不变系统往往称为频率成形滤波器。

可见，滤波器也是一个线性时不变系统，这样就知道了为什么要介绍滤波器，因为它也是数字信号处理范畴的东西，且滤波器的应用十分的广泛，所以不必把滤波器披上一层神秘的面纱，它就是一个线性时不变系统而已。当然，这里只是初步的滤波器介绍，有关滤波器的知识远远不止这一点，数字信号处理（二）中几乎都是滤波器，我还没有具体学习，到时候再讲。

周期方波的傅里叶级数系数

7 周期方波的傅里叶级数系数

之所以要单独的去求周期方波的傅里叶级数系数，是为了下一篇博文连续非周期信号的傅里叶变换的推导做准备，并且在下一篇博文中将对此做出有意义的讨论，周期方波的周期无限大的时候，其傅里叶级数系数会有怎么样的变化呢？下篇博文，你将会看到，随着周期的不断增大，傅里叶级数系数也就越来越密集，当周期无限大时，傅里叶级数系数也就变成了连续的了。这种讨论给出，非周期信号的傅里叶变换推导的基本思路。

连续时间傅里叶变换（FT）

8 连续时间傅里叶变换（FT）

连续时间傅里叶变换针对的是非周期信号，对于非周期信号和周期信号之间是有一定联系的，它基于如下的观点，即非周期信号可以看成是周期无限大的周期信号，当年，傅里叶也是这么认为的。

有了这个观点，就可以将非周期信号的傅里叶变换（FT）与周期信号的傅里叶级数（FS）联系起来，事实上，傅里叶变换也就是由傅里叶级数系数推导而来的。具体去看看这篇博文吧！

周期信号的傅里叶变换

9 周期信号的傅里叶变换

将周期信号也纳入傅里叶变换的范畴，统一进行傅里叶变换分析，是十分由意义的，这归功于单位冲激信号的引入。

这篇博文经过精彩的推导，得出了这样的结论：

一个傅里叶系数为 $\left \{ a_{k} \right \}$ 的周期信号的傅里叶变换，可以看成出现在在成谐波关系的频率上的一串冲激函数，发生在第k次谐波频率 $kw_{0}$ 上的冲激函数的面积是第k个傅里叶级数系数 $a_{k}$ 的 $2\pi$ 倍。

而傅里叶级数系数 $a_{k}$ 可以通过傅里叶变换来求得，它相当于一个周期内的信号的傅里叶变换的等间隔采样值。具体去查看这篇博文吧。

几个判断线性时不变系统的精彩例子

10 几个判断线性时不变系统的精彩例子

这篇博文给出了几个例子，主要是判断时不变系统的例子，如何判断一个系统是不是时不变系统呢？这里我曾在浏览博客的时候突然脑海中混乱了，于是我找了相关的资料，加以整理，彻底弄清楚了这个问题。

由时不变系统的定义可知，序列或者信号先进行移位在变换，与先变换在移位是完全一样的，也就是等效的，根据这句话来判断时不变系统就很容易了。具体去看博文吧。

连续时间傅里叶变换的共轭与共轭对称性

11 连续时间傅里叶变换的共轭与共轭对称性

这篇博文单独讲了FS的性质之一，共轭以及共轭对称性，由详细的推导过程。

之所以单独出来讲，一是觉得它重要，其次便是推导的篇幅很长，可以独立出来了，但是别怕，虽然长，但是很简单哦。

连续时间傅里叶变换的性质

12 连续时间傅里叶变换的性质

连续时间傅里叶变换的性质还是比较简洁的，关于连续的东西，由于生活中都很常见，所以理解起来不是很难，但它却很重要，这是一个知识大厦中不可缺少的一层，它对于理解相关知识具有不可或缺的地位。这篇博文对连续时间傅里叶变换的性质做出来简单的推导。值得一看，去构筑自己的知识大厦。

离散时间傅里叶变换（DTFT）

13 离散时间傅里叶变换

离散时间傅里叶变换（DTFT），是针对离散非周期信号的，这篇博文对离散时间傅里叶变换的推导以及描述完全采用与推导FT并行的方法，这也是本系列博文中连续情况存在的意义，它在构筑整个体系中不可或缺。这也就意味着推导DTFT是引用了DFS来推导过来的，基本的思想还是一样，那就是，非周期信号可以看成周期无限大的周期信号。具体看看这篇博文吧。这里不在赘述。

离散周期信号的傅里叶变换

14 离散周期信号的傅里叶变换

离散周期信号存在傅里叶级数，但引入单位脉冲信号后，可以将离散周期信号纳入离散时间傅里叶变换的范畴，这种统一分析的办法是很有意义的，谁不想统一呢？

分析的方法与连续并行。具体还是参看具体博文。

小叙一句

到这里进入了一个很重要的阶段，下面的内容都是建立在上面内容的基础之上的，所有的都是一些总结与升华，升华出DFT，后面还将继续聊聊FFT相关知识。

没有这个系列博文之前，我曾经用到这部分知识时，是十分苦恼的，一方面，我不了解各个知识之间的前因后果，来龙去脉，用到相关知识只是去查看相关公式，或者独立的某一篇博文，我内心总是渴望知道为什么？可没有一个完整的知识体系，要想懂得为什么是很难的，所以总是云里雾里。

终于，我决定创建这样的一个体系，并有了自己的逻辑，我还在慢慢地更新自己的知识库，并不断加入自己的思考。以博文的形式，可以供我方便的翻阅。真的是一件很有意义的事情，至少对我来说，偶尔大家也可以看看我的东西，不亦乐乎！

上面的内容都是暑假之前写的，那个时候还没有期末考试结束，我放弃了复习上课内容的时间，（实际上，是我不想复习那玩意）写这些博文，让我觉得有些踏实，这也许是作为一个知识分子的乐趣吧。可喜可贺，这是学生时代考试的结束，再也不用上课了，为了考试而学习，真的让我很疲惫。

一个星期的暑假结束了，我好似满血复活，开始继续构筑自己的知识大厦，后面我将研究FPGA相关的知识，还有一系列的项目等着我，理论与实践相结合，希望自己把握机会，给自己的未来交上一份满意的答卷。

好了，闲话不说了，继续更新这个目录。

DFT的准备（一）（对离散序列的傅里叶分析大总结）

15 DFT的准备（一）（对离散序列的傅里叶分析大总结）

这篇博文简单的总结了上面的各种傅里叶分析，例如连续情况下的傅里叶级数，傅里叶变换；

离散情况下的傅里叶级数，离散时间傅里叶变换，为DFT的到来做一次铺垫。这篇博文以及下一篇博文一定要看。

DFT的准备（二）（对离散时间傅里叶变换DTFT采样）

16 DFT的准备（二）（对离散时间傅里叶变换DTFT采样）

正如标题所说的，这篇博文也是对DFT的到来进行铺垫，而且是最后一次铺垫，重要性不言而喻了。对离散时间傅里叶变换进行采样，得到DFS级数系数。内容十分精彩，自己看看吧。

终于到来的DFT

这不，这篇博文正是开始讲解DFT了，说实话，DFT真的不是那么好理解，但是多思考思考还是可以接受的，它针对的是有限长信号，这便于计算机处理，而有限长序列的DTFT是连续的而且是周期的，所以频域对于计算机而言，就不太好处理了，所以为了能够得出让计算机能够处理的频域表示方法，DFT出现了。

DFT和DFS事实上是一样的，只不过DFT感兴趣的部分是DFS的一个周期部分，也就是主值周期，这也是对n以及k取值区间进行限制的原因。

傅里叶分析中的时频域之间的关系（以及一点对于DFT的一点思考）

这篇博文算是一篇总领性的文章吧，它从以上各种傅里叶分析中总结出了一总普遍的规律，也就是时域与频域之间的一种关系，例如，时域信号是连续的，则频域是非周期的；时域是非周期的，则频域是连续的；时域是离散的，频域就是周期的；反之，时域是周期的，频域就是离散的；

对DFT的讨论是另外的，它是为了计算机处理而产生的一种频域表示方法，它的时域和频域都是有限长的，且都是离散的，这对计算机来说，无疑是最合适的。

好了，今天就更新到这里，但是还没完，接下来，我还要继续写FFT以及别的东西。

2018/07/29 21:51