一. 隐函数的偏导数

给定隐函数：

$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0$

隐函数的偏导可得：

MATLAB格式：

F=-diff(f,xj)/diff(f,xi)

例题1

已知：

$z=f(x,y)=(x^2-2x)e^{-x^2-y^2-xy}$

求：

$\frac{\partial y}{\partial x}$

解：

MATLAB代码：

clc;clear;
syms x y;
f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);
pretty(-simplify(diff(f,x)/diff(f,y)))

运行结果：

二. 不定积分解析解

给出不定积分：

$\int f(x)dx$

MATLAB格式：

F=int(fun,x)

例题2

给定函数f(x)，用diff()函数求其一阶导数，再积分，检验是否可以得出一致的结果。

$f(x)=\frac{sinx}{x^2+4x+3}$

解：

MATLAB代码：

clc;clear;
syms x;
y=sin(x)/(x^2+4*x+3);%一阶导数与积分
y1=diff(y);
y0=int(y1); %对导数积分
pretty(y0)%对原函数求四阶导数，再对结果进行四次积分
y4=diff(y,4);
y00=int(int(int(int(y4))));
pretty(simplify(y00))

运行结果：

sin(x)
------------
2
x + 4 x + 3

例题3

证明：

解：

MATLAB代码：

clc;clear;
syms a x;
f=simplify(int(x^3*cos(a*x)^2,x))
f1=x^4/8+(x^3/(4*a)-3*x/(8*a^3))*sin(2*a*x)+...(3*x^2/(8*a^2)-3/(16*a^4))*cos(2*a*x);
simplify(f-f1) %求两个结果的差

运行结果：

f =((3*sin(a*x)^2)/8 + (a^3*x^3*sin(2*a*x))/4 - (3*a^2*x^2*(2*sin(a*x)^2 - 1))/8 - (3*a*x*sin(2*a*x))/8)/a^4 + x^4/8

ans =3/(16*a^4)

三. 定积分与无穷积分

给定积分：

$\int_a^b f(x)dx$

MATLAB格式：

I=int(f,x,a,b)

给定无穷积分：

$\int_a^\infty f(x)dx$

MATLAB格式：

I=int(f,x,a,inf)

例题4

求当a=0,b=1.5或 $\infty$ 时的定积分值。

$f(x)=e^{-x^2/2}$

解：

MATLAB代码如下;

clc;clear;
syms x;
I1=int(exp(-x^2/2),x,0,1.5);
vpa(I1,70)
I2=int(exp(-x^2/2),x,0,inf)

运行结果：

ans =1.085853317666016569702419076542265042534236293532156326729917229308528

I2 =(2^(1/2)*pi^(1/2))/2

四. 多重积分问题

例题5

求解F(x,y,z)的积分：

$\int\int\int F(x,y,z)dx^2dydz$

解：

积分顺序：

$z\to y\to x\to x$

MATLAB代码：

clc;clear;
syms x y z;
f0=-4*z*exp(-x^2*y-z^2)*(cos(x^2*y)-10*cos(x^2*y)*y*x^2+...4*sin(x^2*y)*x^4*y^2+4*cos(x^2*y)*x^4*y^2-sin(x^2*y));%一种积分顺序
f1=int(f0,z);
f1=int(f1,y);
f1=int(f1,x);
f1=simplify(int(f1,x))%换种积分顺序
f2=int(f0,z);
f2=int(f2,x);
f2=int(f2,x);
f2=simplify(int(f2,y))%看两者结果是否一致
simplify(f1-f2)

运行结果：

f1 =sin(x^2*y)*exp(- y*x^2 - z^2)

f2 =sin(x^2*y)*exp(- y*x^2 - z^2)

ans =0

例题6

求解如下积分：

$\int_0^1\int_0^\pi\int_0^\pi 4xze^{-x^2y-z^2}dzdydx$

解：

MATLAB代码：

clc;clear;
syms x y z;
I=int(int(int(4*x*z*exp(-x^2*y-z^2),x,0,1),y,0,pi),z,0,pi);
%实际上求出来的结果含有Ei(n,z)，可求数值解
vpa(I,60)

运行结果：

ans =1.73276222303122046279036924954865797833228791294854004417627

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基于MATLAB的隐函数偏导与多重积分（附代码）

一. 隐函数的偏导数

例题1

二. 不定积分解析解

例题2

例题3

三. 定积分与无穷积分

例题4

四. 多重积分问题

例题5

例题6

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