中位数技巧（推理+证明）

在有序序列中，中位数具有一些很优美的性质。

定义

中位数，又称中点数，中值。中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，即在这组数据中，有一半的数据比他大，有一半的数据比他小，这里用来表示中位数。（注意：中位数和众数不同，众数指最多的数，众数有时不止一个，而中位数只能有一个。）有一组数据：将它按从小到大的顺序排序为：X1,X2,X3…Xn 则当N为奇数时 mid=X(n+1)/2；当N为偶数时 mid=(X(n/2)+x(n/2+1))/2 。一个数集中最多有一半的数值小于中位数，也最多有一半的数值大于中位数。如果大于和小于中位数的数值个数均少于一半，那么数集中必有若干值等同于中位数。

平均数，中位数，众数区别联系

1）平均数是通过计算得到的，因此它会因每一个数据的变化而变化。
2）中位数是通过排序得到的，它不受最大、最小两个极端数值的影响。部分数据的变动对中位数没有影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，常用它来描述这组数据的集中趋势。
3）众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度．日常生活中诸如“最佳”、“最受欢迎”、“最满意”等，都与众数有关系，它反映了一种最普遍的倾向。

优缺点：平均数：需要全组所有数据来计算；易受数据中极端数值的影响。中位数：仅需把数据按顺序排列后即可确定；不易受数据中极端数值的影响。众数：通过计数得到；不易受数据中极端数值的影响。

典例

1.货仓选址传送门

在一条数轴上有 N 家商店，它们的坐标分别为 A1∼AN。

现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。

为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。

输入格式

第一行输入整数 N。

第二行 N 个整数 A1∼AN。

输出格式

输出一个整数，表示距离之和的最小值。

数据范围

1≤N≤100000,
0≤Ai≤40000

输入样例：

4
6 2 9 1

输出样例：

思路：
排序后找中位数，就这么简单
设仓库位置为k
答案为 ans = min{ | X1 - k | + | X2 - k | + | X3 - k |+…+ | Xn - k | }

证明：
这道题目中，每一个点到中位数的距离，都是满足全局的最有性，而不是局部最优性。
设在仓库建在 X 轴坐标处，X 左侧的商店有 P 家 ,右侧的商店有 Q 家
若 P < Q ，则每把仓库的选址向右移动 1 单位距离，距离之和就会变小 Q - P。
同理，若 P > Q , 则仓库的选址向左移动 1 单位距离，距离之和就会变小。
当 P = Q 时为最优解。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
int a[N];
int main()
{int n;cin >> n;for(int i = 0;i < n;i ++) cin >> a[i];sort( a , a + n );int res = 0;for(int i = 0;i < n;i ++) res + = abs( a[i] - a[n >> 1] );cout << res;return 0;
}

注意：
将 abs(a[i] - a[n >> 1]) 改为 abs(a[i] - a[i >> 1]) 也可以 AC
很神奇，这并不是数据的锅，我们可以证明排序之后，有

证明如下

同理偶数也成立。

2.糖果传递传送门

有 n 个小朋友坐成一圈，每人有 a[i] 个糖果。

每人只能给左右两人传递糖果。

每人每次传递一个糖果代价为 1。

求使所有人获得均等糖果的最小代价。

输入格式

第一行输入一个正整数 n，表示小朋友的个数。

接下来 n 行，每行一个整数 a[i]，表示第 i 个小朋友初始得到的糖果的颗数。

输出格式

输出一个整数，表示最小代价。

数据范围

1≤n≤1000000,
0≤a[i]≤2×109,
数据保证一定有解。

输入样例：
4
1
2
5
4

输出样例：

思路：
假设标号为i的小朋友开始有Ai颗糖果，Xi表示第i个小朋友给了第i-1个小朋友Xi颗糖果，如果Xi<0，说明第i-1个小朋友给了第i个小朋友Xi颗糖果，X1表示第一个小朋友给第n个小朋友的糖果数量。所以最后的答案就是ans=|X1| + |X2| + |X3| + ……+ |Xn|。

对于第1个小朋友:
A1-X1+X2=ave

-> X2 = ave - A1 + X1 = X1 - C1
(假设C1 = A1 - ave，下面类似）

对于第2个小朋友:
A2-X2+X3=ave

-> X3 = ave - A2 + X2 = 2ave - A1 - A2 + X1 = X1 - C2

即C2 = A1 + A2 - 2ave = A2 + C1 - ave

以此类推
对于第3个小朋友:
A3-X3+X4=ave

-> X4 = ave - A3 + X3 = 3ave - A1 - A2 - A3 + X1 = X1 - C3

可以推出

C[ i ]= C[ i-1 ] + A[ i ] - ave

所以变成找中位数 X1
ans=| X1 | + | X1-C1 | + | X1-C2 | + ……+ | X1-Cn-1 |

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef  long long ll;
const int N=1000010;
int n;
int a[N],c[N];
ll ave,sum;
int main()
{scanf("%d", &n );for(int i = 1;i <= n;i ++){scanf("%d", &a[i] );sum += a[i];}ave = sum / n;for( int i = 2;i <= n;i ++ )c[i] = c[i-1] + a[i] - ave;sort( c + 1,c + n + 1 );ll ans=0;int mid = c[( n >> 1 ) + 1 ];for(int i = 1;i <= n;i++ )ans += abs( c[i] - mid );printf("%lld ", ans ); return 0;
}

3.均分纸牌传送门

有N堆纸牌，编号分别为 1,2,…,N。

每堆上有若干张，但纸牌总数必为 N 的倍数。

可以在任一堆上取若干张纸牌，然后移动。

移牌规则为：在编号为 1 的堆上取的纸牌，只能移到编号为 2 的堆上；在编号为 N 的堆上取的纸牌，只能移到编号为 N−1 的堆上；其他堆上取的纸牌，可以移到相邻左边或右边的堆上。

现在要求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆上纸牌数都一样多。

例如 N=4，4 堆纸牌数分别为：(9,8,17,6)。

移动 3 次可达到目的：

从第三堆取四张牌放入第四堆，各堆纸牌数量变为:(9,8,13,10)。从第三堆取三张牌放入第二堆，各堆纸牌数量变为:(9,11,10,10)。从第二堆取一张牌放入第一堆，各堆纸牌数量变为:(10,10,10,10)。

输入格式

第一行包含整数 N。

第二行包含 N 个整数，A1,A2,…,AN 表示各堆的纸牌数量。

输出格式

输出使得所有堆的纸牌数量都相等所需的最少移动次数。

数据范围

1≤N≤100,
1≤Ai≤10000

输入样例：

4
9 8 17 6

输出样例：

思路：
在有解时，我们可以先考虑第一个人：
设第i 人手里牌为s[i]总数为 T，人数为 M
1.若 s[1] > T / M ，则第一人需要给第二个人 s[1] - T / M 张纸牌，即把 s[2]加上 s[1] - T / M。
2.若 s[1] < T / M ，则第一人需要从第二个人手里拿 T / M - s[1] 张纸牌，即把 s[2] 减去 T / M - s[1]。
我们按照同样的方法依次考虑第2~M个人。即使在某个时刻有某个 s[i] 被减为负数也没关系，因为接下来 s[i] 就会从 s[i+1] 处拿牌，在实际中可认为 s[i] 从s[i+1] 处拿牌发生在s[i-1] 从s[i] 处拿牌之前。
按照这种方法，经过计算最小步数是：

s[n]为1~n的前缀和
注意，如果是一次移动一张牌，那么上式和就是答案
但这里是移动若干张，要计算迭代的次数

#include <iostream>using namespace std;const int N = 110;int a[N];
int n, all, cnt;int main()
{cin >> n;for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> a[i], all += a[i];int avg = all / n;               for (int i = 0; i < n-1 ; i ++ ){if (a[i] != avg){a[i + 1] += a[i] - avg;     cnt ++ ;}}cout << cnt << endl;return 0;
}

欢迎点赞与评论~
记得收藏

中位数技巧（推理+证明）相关推荐

android 8.0 长按图标菜单,只有华为EMUI8.0才有的功能！这些小技巧足以证明你手机的价值...
原标题:只有华为EMUI8.0才有的功能!这些小技巧足以证明你手机的价值华为近几年的发展可是日益增长,然而华为也成为我们国产手机的领导者了,它的发展也有大部分功劳归功于它的EMUI系统.基于安卓8. ...
OpenAI推出数学推理证明模型，推理结果首次被数学家接受
大数据文摘出品作者:牛婉杨今年6月,OpenAI发布一款强大的文本生成模型GPT-3,不少网友迅速上手用了起来,有人用它写食谱.写歌词,甚至有人用它写博客,愣是以假乱真登上了新闻平台技术板块热榜第 ...
证明是一个偶像，数学家在这个偶像前折磨自己！
闵可夫斯基 01 一次拓扑课,闵可夫斯基向学生们自负的宣称:"这个定理没有证明的最要的原因是至今只有一些三流的数学家在这上面花过时间.下面我就来证明它--"于是闵可夫斯基开始拿起粉 ...
【组合数学】组合恒等式 ( 变下项求和 3 组合恒等式 | 变下项求和 4 组合恒等式 | 二项式定理 + 求导证明组合恒等式 | 使用已知组合恒等式证明组合恒等式 )
文章目录一.组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 1 二.组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 1 证明 ( 二项式定理 + 求导 ) 三.组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 2 ...
【Paper】论文中定义、定理、引理、证明分别的含义
论文中定义.定理.引理.证明分别的含义 1. 定义 Definition 2. 定理 Theorem 3. 证明 Proof 4. 引理 Lemma 5. 谈论/评论 Remark 6. 注解/说明 ...
两个有序数组求中位数log(m+n)复杂度
leetcode 第4题中位数技巧: 对于长度为L的有序数组,它的中位数是(a[ceil((L+1)/2)]+a[floor((L+1)/2)])/2 算法原理: 类似三分法求极值两个人都前进,谁 ...
tutte定理证明hall定理_县级数学教研网课：有趣的勾股定理证明，课件用几何画板制作...
2020年3月20日,我受县教研室初中数学教研员的邀请,上了一节全县的数学网络公开课,全县共200余名数学教师通过网络观看.本节公开课我选择的内容是八年级下册勾股定理这一章的阅读与思考,课题为< ...
离散数学-3 命题逻辑的推理理论
定义3.1 设A1, A2, -, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值,A1A2-Ak 为假,或当A1A2-Ak为真时,B也为真,则称由前提A1, A2, -, Ak推出结论B的推理 ...
第一部分数理逻辑第三章命题逻辑的推理理论
Chapter Three - 命题逻辑的推理理论 1 - 要点推理证明推理的形式结构的符号化形式:A₁∧A₂∧-∧Ak→B(*)如果(*)是重言式,则称推理是有效的,或称推理是正确的:如果(* ...
威尔逊定理证明（上）
威尔逊定理今天我们要证明数论中一个很有名的定理:威尔逊定理. 这个定理是这样的:当p为质数时,一定满足p-1的阶乘除以p的余数一定为-1. 用数学语言表达就是:(p-1)!=-1(mod p) 接下 ...

中位数技巧（推理+证明）

定义

平均数，中位数，众数区别联系

典例

中位数技巧（推理+证明）相关推荐

最新文章

热门文章