[离散数学]集合论基础P_4：运算定律及其证明
[离散数学]集合论基础P_4：运算定律及其证明
- 前言
- 1. 集合运算的基本等式
- 定义
- 2. 基于文氏图的形象理解
- 3.集合相等的证明
- 回顾证明方法
- 证明框架
- 例子
- 总结
前言
第一讲：集合论基础
集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域，是基础的基础。
在离散数学中，需要使用集合来表达各类离散量以及离散量之间的关系，所以首先学习集合论是重中之重。
本文集合运算定律及其证明是集合论基础的第四部分。
1. 集合运算的基本等式
定义
设UUU为全集，A,B,CA,B,CA,B,C为任意集合。
- A∪A=A,A∩A=AA\cup A=A, A\cap A=AA∪A=A,A∩A=A.
幂等律
A∪AA\cup AA∪A可以理解为A针对并运算的二次幂。
同理A∩A=AA\cap A=AA∩A=A可以理解为A针对交运算的二次幂。
- A∪B=B∪A,A∩B=B∩AA\cup B=B\cup A, A\cap B=B\cap AA∪B=B∪A,A∩B=B∩A.
交换律
- A∪(B∪C)=(A∪B)∪C,A∩(B∩C)=(A∩B)∩CA\cup \left( B\cup C \right) =\left( A\cup B \right) \cup C, A\cap \left( B\cap C \right) =\left( A\cap B \right) \cap C\,\,A∪(B∪C)=(A∪B)∪C,A∩(B∩C)=(A∩B)∩C.
结合律
- A∪∅=A,A∩U=AA\cup \varnothing =A, A\cap U=AA∪∅=A,A∩U=A.
同一律
- A∪U=U,A∩∅=∅A\cup U=U, A\cap \varnothing =\varnothingA∪U=U,A∩∅=∅.
零律
类似乘法中的乘0
- A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A\cup \left( B\cap C \right) =\left( A\cup B \right) \cap \left( A\cup C \right) , A\cap \left( B\cup C \right) =\left( A\cap B \right) \cup \left( A\cap C \right)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).
分配律
实数运算中，只有乘法对加法可以满足分配率，反过来加法和乘法不满足。
不过并运算对交运算满足，交运算对并运算也满足。
- A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=AA\cup \left( A\cap B \right) =A, A\cap \left( A\cup B \right) =AA∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=A.
吸收律
内层和外层运算不同，外层和内层有一个共同元素AAA，运算结果也是AAA
- A‾∩A=∅,A‾∪A=U\overline{A}\cap A=\varnothing, \overline{A}\cup A=UA∩A=∅,A∪A=U.
矛盾律和排中律
- A‾‾=A\overline{\overline{A}}=AA=A
双重否定律
- A∪B‾=A‾∩B‾,A∩B‾=A‾∪B‾\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}, \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}A∪B=A∩B,A∩B=A∪B
德摩根律
先进行并运算再进行补运算等价于先取补后再求交。
先进性交运算再进行补运算等价于先取补后再求并。
2. 基于文氏图的形象理解
A∪(B∪C)A\cup \left( B\cup C \right)A∪(B∪C)
蓝色条纹表示(B∪C)\left( B\cup C \right)(B∪C)
绿色条纹表示AAA
蓝色条纹和绿色条纹相交的部分为A∪(B∪C)A\cup \left( B\cup C \right)A∪(B∪C)(A∩B)∪(A∩C)\left( A\cap B \right) \cup \left( A\cap C \right)(A∩B)∪(A∩C)
蓝色条纹表示(A∩B)\left( A\cap B \right)(A∩B)
绿色条纹表示(A∩C)\left( A\cap C \right)(A∩C)
蓝色条纹和绿色条纹之和的部分为(A∩B)∪(A∩C)\left( A\cap B \right) \cup \left( A\cap C \right)(A∩B)∪(A∩C)
文氏图是从视觉感官上进行一个形象化的理解。
3.集合相等的证明
回顾证明方法
接下来使用数学方法做严格证明，首先回顾一下证明方法。
如需证明集合AAA和BBB相等，通常的方法是证明两个集合间的相互包含关系，即
A=B⟺A⊆B并且B⊆AA=B\Longleftrightarrow A\subseteq B\,\,\text{并且}B\subseteq A A=B⟺A⊆B并且B⊆A
而证明集合的包含关系则使用如下方法：
B⊆A⟺∀x∈B,x∈AB\subseteq A\Longleftrightarrow \forall x\in B, x\in A B⊆A⟺∀x∈B,x∈A
证明框架
证明：
- 首先证明A⊆BA\subseteq BA⊆B：∀x∈A,⋯,x∈B.∴A⊆B.\forall x\in A,\cdots , x\in B.\therefore A\subseteq B.∀x∈A,⋯,x∈B.∴A⊆B.
- 其次证明B⊆AB\subseteq AB⊆A：∀x∈B,⋯,x∈A.∴B⊆A.\forall x\in B,\cdots , x\in A.\therefore B\subseteq A.∀x∈B,⋯,x∈A.∴B⊆A.
由以上两点，可知A=B。
例子
证明德摩根律的等式之一：A∪B‾=A‾∩B‾\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}A∪B=A∩B
证明：
首先证明A∪B‾⊆A‾∩B‾\overline{A\cup B}\subseteq \overline{A}\cap \overline{B}A∪B⊆A∩B
∀x∈A∪B‾\forall x\in \overline{A\cup B}∀x∈A∪B
⇒x∉A∪B\Rightarrow x\notin A\cup B⇒x∈/A∪B
⇒x∉A并且x∉B\Rightarrow x\notin A\text{并且}x\notin B⇒x∈/A并且x∈/B
⇒x∈A‾并且x∈B‾\Rightarrow x\in \overline{A}\text{并且}x\in \overline {B}⇒x∈A并且x∈B
⇒x∈A‾∩B‾\Rightarrow x\in \overline{A}\cap \overline{B}⇒x∈A∩B其次证明A‾∩B‾⊆A∪B‾\overline{A}\cap \overline{B}\subseteq \overline{A\cup B}A∩B⊆A∪B
∀x∈A‾∩B‾\forall x\in \overline{A}\cap \overline{B}∀x∈A∩B
⇒x∈A‾并且x∈B‾\Rightarrow x\in \overline{A}\text{并且}x\in \overline {B}⇒x∈A并且x∈B
⇒x∉A并且x∉B\Rightarrow x\notin A\text{并且}x\notin B⇒x∈/A并且x∈/B
⇒x∉A∪B\Rightarrow x\notin A\cup B⇒x∈/A∪B
⇒x∈A∪B‾\Rightarrow x\in \overline{A\cup B}⇒x∈A∪B
由以上两点，可知等式A∪B‾⊆A‾∩B‾\overline{A\cup B}\subseteq \overline{A}\cap \overline{B}A∪B⊆A∩B成立。
总结
本文介绍了集合论基础中的集合的运算定律及其证明部分，对集合有深入的了解。
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