UA MATH523A 实分析1 集合论基础2 序关系与Zorn引理

偏序与全序
关于最大元的几个结论
- 选择公理
- Hausdorff Maximal Principle与Zorn引理
- 良序原则

这一讲的目标是把最大、更大这些概念进行推广。早期数学教学专注实数域、而实数域的元素大小关系非常直观。现在我们要试图把这种直观的大小关系推广到一般性的集合，也就是定义集合元素之间的序关系，并且基于序关系定义最大、最小值的概念。

偏序与全序

假设XXX是一个非空集合、RRR是一个二元关系，如果∀x,y∈X\forall x,y \in X∀x,y∈X

xRxxRxxRx，∀x∈X\forall x \in X∀x∈X
xRy,yRx⇒x=yxRy, yRx \Rightarrow x=yxRy,yRx⇒x=y
xRy,yRz⇒xRzxRy, yRz \Rightarrow xRzxRy,yRz⇒xRz

则称RRR是XXX上的一个偏序（Partial Ordering），记为≤\le≤，称XXX为偏序集，记为(X,≤)(X,\le)(X,≤)或简写为XXX。如果x≤y,y≤xx\le y,y\le xx≤y,y≤x中必有一个成立，则称RRR为全序（total ordering or linearly ordering）。称两个偏序集序同构（order isomorphic）如果∃f:X→Y\exists f:X \to Y∃f:X→Y 1-1 and onto such that x1≤x2x_1 \le x_2x1≤x2 iff f(x1)≤f(x2)f(x_1) \le f(x_2)f(x1)≤f(x2)。

基于序关系还可以定义最大元、最小元：

最大元：∃M∈X,∀x∈X,x≤M\exists M \in X, \forall x \in X, x \le M∃M∈X,∀x∈X,x≤M
最小元：∃m∈X,∀x∈X,m≤x\exists m \in X, \forall x \in X, m \le x∃m∈X,∀x∈X,m≤x

如果(X,≤)(X,\le)(X,≤)的每个非空子集都存在最小元，就称(X,≤)(X,\le)(X,≤)是良序集（well-ordered set），称≤\le≤是良序（well ordering）。

关于最大元的几个结论

Axiom of Choice（by Zermelo 1904）：一列非空集合的笛卡尔积也是非空集合
Zorn’s Lemma：如果偏序集的所有全序子集都有一个上界，那么这个偏序集有最大元
Hausdorff Maximal Principle：每个偏序集都有一个最大的全序子集
Well Ordering Principle (by Cantor 1883)：任意非空集合上都可以定义一个良序使之成为良序集

这四个结论是等价的，下面我们从选择公理开始逐个介绍这几个结论。

选择公理

选择公理是Zermelo于1904年提出的，目的是证明Cantor于1883年提出的良序原则（Well Ordering Principle），Zermelo证明了良序原则与选择公理是等价的。选择公理有一些等价叙述，“一列非空集合的笛卡尔积也是非空集合”只是其中一种，另外比如“对任何集族F\mathcal{F}F，都存在函数fff使得∀S∈F,S≠ϕ\forall S \in \mathcal{F},S \ne \phi∀S∈F,S=ϕ,f(S)∈Sf(S)\in Sf(S)∈S”等。选择公理经过Sierpinski与Godel等人近三十年的努力后逐渐被数学家们采纳并广泛应用于各个分支领域，此后越来越多的命题被证明是和选择公理等价的。

但对于选择公理的质疑也是没有停止的，比如著名的Banach-Tarski定理（1924年），这个定理讲的故事是把一个球面分成有限块，然后通过平移旋转拼出两个球，这两个球都和原来的球一模一样。因为这个是基于选择公理和Hausdorff（1914）的结论证明出来的，所以这是一个定理，但它非常反直觉。1

分析和代数使用选择公理几乎就是从选择公理开始后的几年开始的，因为做分析和代数的数学家虽然没有明说，但他们早就在一些构造性证明中使用了与选择公理类似的陈述。所以实分析认可选择公理。

Hausdorff Maximal Principle与Zorn引理

Hausdorff Maximal Principle说的是每个偏序集都有一个最大的全序子集，考虑偏序集(X,≤)(X,\le)(X,≤)，则∃E⊂X\exists E \subset X∃E⊂X，(E,≤)(E,\le)(E,≤)是全序集，并且EEE包含XXX其他所有全序子集。按Zorn引理的叙述，偏序集的所有全序子集都有一个上界，则(E,≤)(E,\le)(E,≤)存在一个上界，记这个上界为MMM，则MMM是XXX的最大元（如果MMM不是最大元，可以把MMM纳入EEE中，定义E′=E∪{M}E'=E\cup\{M\}E′=E∪{M}，验证E′E'E′为全序集，则E′⊃EE'\supset EE′⊃E，这与EEE是最大的全序子集矛盾）。

当然Zorn引理也可以导出Hausdorff Maximal Principle，记C\mathcal{C}C是(X,≤)(X,\le)(X,≤)所有全序子集的集族，则(C,⊂)(\mathcal{C},\subset)(C,⊂)是一个偏序集，对这个偏序集应用Zorn引理，显然它存在一个最大元，这个最大元就是(X,≤)(X,\le)(X,≤)最大的全序子集。

良序原则

使用Zorn引理可以证明良序原则。我们需要引入一个工具：良序集的扩张。假设(A,≤)(A,\le)(A,≤)是一个良序集，A⊂BA \subset BA⊂B，定义二元关系≤B\le_B≤B使得：

(A,≤)(A,\le)(A,≤)与(A,≤B)(A,\le_B)(A,≤B)等价；
∀x∈B∖A\forall x \in B\setminus A∀x∈B∖A，y≤Bx,∀y∈Ay \le_B x, \forall y \in Ay≤Bx,∀y∈A

则(B,≤B)(B,\le_B)(B,≤B)也是一个良序集，称之为良序集(A,≤)(A,\le)(A,≤)的扩张。

我们再定义一个良序之间的序关系，用RRR表示，因为(B,≤B)(B,\le_B)(B,≤B)是(A,≤)(A,\le)(A,≤)的扩张，这种序关系记为(A,≤)R(B,≤B)(A,\le)R(B,\le_B)(A,≤)R(B,≤B)。用C\mathcal{C}C表示偏序集(X,≤)(X,\le)(X,≤)所有良序子集的集族，则(C,R)(\mathcal{C},R)(C,R)是偏序集，根据Zorn引理，它存在一个最大元，接下来我们可以把最大元扩展到XXX上，使XXX被良序化。

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