初等数学O 集合论基础第四节二元关系、等价类与运算

这一讲的目标是在非空集合上定义关系与运算，我们学过的常见的关系有大小关系、整除关系、同余关系等；常见的运算有四则运算、乘方运算、开方运算等，但这一讲要做的事情是给出关系与运算的更抽象的定义，使在任意集合上定义关系与运算变得可能。

之所以要引入关系与运算是因为前三讲介绍的工具大部分都是处理集合运算的，而能够处理集合元素的工具只有序关系，为了让集合论起更大的作用，我们需要扩充能够处理集合元素的工具箱。

在正式引入关系与运算前，我们先介绍一个重要的工具——笛卡尔积(Cartesian Product)。
定义0.13 笛卡尔积（或称为直积）
假设X,YX,YX,Y是两个非空集合，定义它们的笛卡尔积为
X×Y={(x,y):x∈X,y∈Y}X \times Y = \{(x,y):x \in X,y \in Y\}X×Y={(x,y):x∈X,y∈Y}

假设{Xi}i=1n\{X_i\}_{i=1}^n{Xi}i=1n是有限个非空集合，定义它们的笛卡尔积为
∏i=1nXi={x=(x1,x2,⋯,xn):xi∈Xi,i=1,⋯,n}\prod_{i=1}^n X_i = \{x=(x_1,x_2,\cdots,x_n):x_i \in X_i,i=1,\cdots,n\}i=1∏nXi={x=(x1,x2,⋯,xn):xi∈Xi,i=1,⋯,n}

比如X=Y=RX=Y=\mathbb{R}X=Y=R，即X,YX,YX,Y都是一根数轴，则X×Y=R2X\times Y=\mathbb{R}^2X×Y=R2，也就是X×YX \times YX×Y就成了平面直角坐标系。

评注0.6
i) 集合的笛卡尔积与原集合之间自然就存在一个映射πi:∏i=1nXi→Xi\pi_i:\prod_{i=1}^n X_i \to X_iπi:∏i=1nXi→Xi，满足
πi(x)=xi\pi_i(x)=x_iπi(x)=xi

显然这个映射是一个单射，通常我们称这个映射为projection，因为它就是nnn维直角坐标系中的点向第iii个轴的投影。比如在平面直角坐标系中，
πx((x,y))=x,πy((x,y))=y\pi_x((x,y))=x,\pi_y((x,y))=yπx((x,y))=x,πy((x,y))=y

分别表示平面直角坐标系中的点到xxx轴、yyy轴的投影。在数学分析与实分析中，这个映射是非常有用的。

ii）我们回顾一下第三讲选择公理的叙述，一列非空集合的笛卡尔积也是非空集合。对于
∏i=1nXi={x=(x1,x2,⋯,xn):xi∈Xi,i=1,⋯,n}\prod_{i=1}^n X_i = \{x=(x_1,x_2,\cdots,x_n):x_i \in X_i,i=1,\cdots,n\}i=1∏nXi={x=(x1,x2,⋯,xn):xi∈Xi,i=1,⋯,n}

这个集合非空说明至少存在一个x∈∏i=1nXix \in \prod_{i=1}^n X_ix∈∏i=1nXi， x=(x1,x2,⋯,xn)x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)x=(x1,x2,⋯,xn)，因此在每一个非空集合中，都可以选出一个元素xix_ixi。看上去这个结果很显然，既然都是非空集合了，那集合里肯定至少要有一个元素，所以肯定可以选出一个来，这也是为什么我们接受它是一个公理的原因。之所以需要这样一个公理是为了回答罗素悖论，感兴趣的读者可以自行查阅。

定义0.14 二元关系(Binary relation)

假设X,YX,YX,Y是两个非空集合，R⊆X×YR \subseteq X \times YR⊆X×Y
R={(x,y):x∈πx(R),y∈πy(R)}R=\{(x,y):x \in \pi_x(R),y \in \pi_y(R)\}R={(x,y):x∈πx(R),y∈πy(R)}

我们称∀(x,y)∈R\forall (x,y) \in R∀(x,y)∈R, xxx与yyy之前存在某种二元关系，记为xRyxRyxRy。

比如X=Y=RX=Y=\mathbb{R}X=Y=R，考虑小于等于这种二元关系，xRy=x≤yxRy=x \le yxRy=x≤y，则显然
R={(x,y):x∈R,y∈R,x≤y}R=\{(x,y):x \in \mathbb{R},y\in \mathbb{R},x \le y\}R={(x,y):x∈R,y∈R,x≤y}

也就是下图中红色的区域：

有一些特殊的二元关系：

ϕ∈X×Y\phi \in X \times Yϕ∈X×Y表示空关系；
X×YX \times YX×Y表示全完全关系；
{(x,y):x=y}\{(x,y):x =y\}{(x,y):x=y}表示恒等关系；

下面定义的等价关系也是一类特殊的二元关系

定义0.15 等价关系
XXX是非空集合，R⊆X×XR \subseteq X \times XR⊆X×X表示一个二元关系，称RRR是一个等价关系，如果∀x,y,z∈R\forall x,y,z \in R∀x,y,z∈R

自反性：xRxxRxxRx
对称性：xRy⇒yRxxRy \Rightarrow yRxxRy⇒yRx
传递性：xRy,yRz⇒xRzxRy,yRz \Rightarrow xRzxRy,yRz⇒xRz

如果RRR是等价关系，我们通常用x∼yx \sim yx∼y来表示xRyxRyxRy

例0.7 恒等关系是一个等价关系。
证
方法：用集合表示二元关系

假设XXX是非空集合，
R={(x,x):x∈X}⊆XR = \{(x,x):x \in X\} \subseteq XR={(x,x):x∈X}⊆X

验证RRR满足等价关系的三个条件。

自反性，显然(x,x)∈R(x,x) \in R(x,x)∈R；
对称性，如果(x,y)∈R(x,y) \in R(x,y)∈R，则y=xy=xy=x，因此(y,x)=(x,x)∈R(y,x)=(x,x) \in R(y,x)=(x,x)∈R
传递性，如果(x,y),(y,z)∈R(x,y),(y,z) \in R(x,y),(y,z)∈R, 则y=x,z=y⇒z=xy=x,z=y \Rightarrow z=xy=x,z=y⇒z=x，因此(z,x)=(x,x)∈R(z,x)=(x,x) \in R(z,x)=(x,x)∈R。

等价关系有一个非常重要的作用，对集合进行分割，我们先介绍分割的含义，然后再说明如何用等价关系分割集合。

定义0.16 分割
假设XXX是一个非空集合，如果存在{Di}i=1n\{D_i\}_{i=1}^n{Di}i=1n使得
X=⨆i=1nDiX = \bigsqcup_{i=1}^n D_iX=i=1⨆nDi

则{Di}i=1n\{D_i\}_{i=1}^n{Di}i=1n是XXX的一个分割。

定理0.8 假设非空集合XXX的势∣X∣|X|∣X∣有限，{Di}i=1n\{D_i\}_{i=1}^n{Di}i=1n是XXX的一个分割，则
∣X∣=∑i=1n∣Di∣|X|=\sum_{i=1}^n|D_i|∣X∣=i=1∑n∣Di∣

注这个定理非常显然，可以用容斥原理直接获得。

例0.8 我们用几何分布介绍一下分割。古典概型认为某个事件的概率等于这个事件包含的基本事件数除以基本事件总数。用XXX表示所有可能的基本事件的集合，则XXX中的元素表示基本事件，∣X∣|X|∣X∣表示基本事件总数。用集合AAA表示某个事件，A⊆XA \subseteq XA⊆X，∣A∣|A|∣A∣表示这个事件包含的基本事件数。根据古典概型的含义，事件AAA的概率为
P=∣A∣∣X∣P = \frac{|A|}{|X|}P=∣X∣∣A∣

现在我们讨论一个问题，假设我们抛掷一枚质地均匀的硬币，用AkA_kAk表示在第kkk次抛掷时第一次数字朝上，那么我们应该如何根据古典概型计算AkA_kAk的概率？按照上面的讨论，我们需要计算
P=∣Ak∣∣X∣P = \frac{|A_k|}{|X|} P=∣X∣∣Ak∣

假设xi=1x_i=1xi=1表示第iii次抛掷时数字朝上
X={(x1,x2,⋯,xn,⋯):xi∈{0,1},∀n≥1}Ak={(x1,⋯,xk,⋯):xj=0,∀j<k,xk=1}X=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots):x_i \in \{0,1\},\forall n \ge 1\} \\ A_k = \{(x_1,\cdots,x_k,\cdots):x_j = 0,\forall j <k,x_k=1\}X={(x1,x2,⋯,xn,⋯):xi∈{0,1},∀n≥1}Ak={(x1,⋯,xk,⋯):xj=0,∀j<k,xk=1}

这个基本事件全体说明有可能我们会投掷无穷次硬币才会得到一次数字朝上，这种可能性导致∣X∣|X|∣X∣一定是无穷，这样的话要用古典概型处理这个问题就很困难了，因为我们还没有定义无穷以及一个数除以无穷。因此我们考虑对XXX做分割，事实上{Ak}k=1∞\{A_k\}_{k=1}^{\infty}{Ak}k=1∞就是XXX的一个分割：
X=⨆k=1∞AkX = \bigsqcup_{k=1}^{\infty}A_kX=k=1⨆∞Ak

读者可以自行验证这个结果。因此
P=∣Ak∣∑j=1∞∣Aj∣P = \frac{|A_k|}{\sum_{j=1}^{\infty}|A_j|}P=∑j=1∞∣Aj∣∣Ak∣

这就是正式导出几何分布的思路。

等价关系可以提供一种构造分割的方法，这种方法是通过等价关系导出的等价类来实现的。

定义0.16 等价类
假设XXX是非空集合，∼\sim∼是XXX上的一个等价关系，称[x][x][x]是一个等价类
[x]={y∈X:x∼y}[x]=\{y \in X:x\sim y\}[x]={y∈X:x∼y}

评注0.7
i) 根据这个定义，xxx的等价类就是XXX中所有与xxx等价的元素的集合。

ii）我们需要说明[x][x][x]这个记号是良定义的，即∀z∼x\forall z \sim x∀z∼x, [z]=[x][z]=[x][z]=[x]，也就是要说明等价类的符号可以用等价类中任何一个元素表示。
[z]⊆[x][z] \subseteq [x][z]⊆[x]：∀y∈[z]\forall y \in [z]∀y∈[z], y∼zy \sim zy∼z，因为z∼xz \sim xz∼x，根据传递性，y∼xy \sim xy∼x，因此y∈[x]y \in [x]y∈[x]；

[x]⊆[z][x] \subseteq [z][x]⊆[z]：∀y∈[x]\forall y \in [x]∀y∈[x], y∼xy \sim xy∼x，因为z∼xz \sim xz∼x，根据传递性，y∼zy \sim zy∼z，因此y∈[z]y \in [z]y∈[z]；

因此∀z∼x\forall z \sim x∀z∼x, [z]=[x][z]=[x][z]=[x]，即[x][x][x]这个记号是良定义的。

iii）不同的两个等价类不相交，假设xxx与yyy不等价 (x≁yx \nsim yx≁y)，则[x]∩[y]=ϕ[x] \cap [y]=\phi[x]∩[y]=ϕ。一种说明两个集合不相交的方法是说明∀z∈[x]\forall z \in [x]∀z∈[x], z∉[y]z \notin [y]z∈/[y]：
用反证法，假设z∈[y]z \in [y]z∈[y]，则z∼yz \sim yz∼y，又因为z∈[x]z \in [x]z∈[x]，即z∼xz \sim xz∼x，根据传递性，x∼yx \sim yx∼y，这与xxx与yyy不等价矛盾。所以[x]∩[y]=ϕ[x] \cap [y]=\phi[x]∩[y]=ϕ。

定理0.9 假设XXX是一个非空集合，∼\sim∼是一个等价关系，则存在XXX的子集SSS满足
S=⋃F∈FFF={F:∀x,y∈F,x≁y}S = \bigcup_{F \in \mathcal{F}} F \\ \mathcal{F}=\{F:\forall x,y \in F, x \nsim y\}S=F∈F⋃FF={F:∀x,y∈F,x≁y}

也就是说SSS是"最大的"包含的元素的互不等价的XXX的子集，使得
X=⨆s∈S[s]X = \bigsqcup_{s \in S}[s]X=s∈S⨆[s]

这个结果的意思是XXX可以分解为∼\sim∼定义的所有等价类的无交并。这个结果比较显然，因为XXX中的元素一定属于某个等价类，而不同的等价类交集为空。

例0.9 基于等价类分割集合。
考虑整数集Z\mathbb{Z}Z，假设等价关系∼\sim∼表示关于3的余数相同，读者可以自行验证这个是等价关系，则基于这个等价关系我们可以定义三个等价类：
[0]={z∈Z:∃n∈Z,z=3n}[1]={z∈Z:∃n∈Z,z=3n+1}[2]={z∈Z:∃n∈Z,z=3n+2}[0] = \{z \in \mathbb{Z}:\exists n \in \mathbb{Z},z = 3n\} \\ [1] = \{z \in \mathbb{Z}:\exists n \in \mathbb{Z},z = 3n+1\} \\ [2] = \{z \in \mathbb{Z}:\exists n \in \mathbb{Z},z = 3n+2\}[0]={z∈Z:∃n∈Z,z=3n}[1]={z∈Z:∃n∈Z,z=3n+1}[2]={z∈Z:∃n∈Z,z=3n+2}

根据定理0.9，
Z=[0]⊔[1]⊔[2]\mathbb{Z}=[0] \sqcup [1] \sqcup [2]Z=[0]⊔[1]⊔[2]

这个结果说明我们可以把所有的整数分为三类，能被3整除的，被3除余1的，被3除余2的。

最后我们定义一下二元运算。

定义0.17 二元运算
假设XXX是一个非空集合，称定义在X×XX \times XX×X上的映射fff是一个二元运算；如果f(X×X)⊆Xf(X \times X) \subseteq Xf(X×X)⊆X，就称二元运算fff在XXX上封闭。

比如X=ZX=\mathbb{Z}X=Z，定义整数的加法为
f:Z×Z→Zf(x,y)=x+yf: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to\mathbb{Z} \\ f(x,y)=x+yf:Z×Z→Zf(x,y)=x+y

显然加法是一个二元运算，并且在整数集上封闭。我们也可以定义整数的乘法，

g:Z×Z→Zg(x,y)=xyg: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to\mathbb{Z} \\ g(x,y)=xyg:Z×Z→Zg(x,y)=xy

显然乘法是一个二元运算，并且在整数集上封闭。