[离散数学]集合论基础P_5：可数集合与不可数集合

前言
1. 引子
2. 自然数集的定义
- 定义1（皮亚诺公理）
- 定义2（冯·诺依曼的自然数定义）
3. 如何比较集合的大小？
- 例子
- 等势
- - 定义
4. 可数集合
- 定义
- 例子
- - 正奇数集合O+O^+O+与素数集合PPP
  - 有理数集合QQQ
5. 不可数集合
- 定义
- 例子
总结

前言

第一讲：集合论基础

集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域，是基础的基础。

在离散数学中，需要使用集合来表达各类离散量以及离散量之间的关系，所以首先学习集合论是重中之重。

本文可数集合与不可数集合是集合论基础的第五部分。

1. 引子

有限→\rightarrow→无限，量变→\rightarrow→质变

有限
1.01365=37.7834370.99365=0.0255181.01^{365}=37.783437 \\ 0.99^{365}=0.025518 1.01365=37.7834370.99365=0.025518
量变

无限
lim⁡n→∞1.01n=∞lim⁡n→∞0.99n=0\lim_{n\rightarrow \infty} 1.01^n=\infty \\ \lim_{n\rightarrow \infty} 0.99^n=0 n→∞lim1.01n=∞n→∞lim0.99n=0
质变

2. 自然数集的定义

定义1（皮亚诺公理）

1891年，意大利数学家皮亚诺公开发表了基于序数的自然数定义公理。这组公理包括：

000是自然数；
每个自然数nnn都有一个后继，这个后继也是一个自然数，记为S(n)S\left( n \right)S(n)；
两个自然数相等当且仅当它们有相同的后继，即m=nm=nm=n当且仅当S(m)=S(n)S\left( m \right) =S\left( n \right)S(m)=S(n)；
没有任何自然数的后继是0；
（归纳公理）若φ\varphiφ是关于一个自然数的预测，如果①φ(0)\varphi \left( 0 \right)φ(0)为真；②当φ(n)\varphi \left( n \right)φ(n)为真，则有φ(S(n))\varphi \left( S\left( n \right) \right)φ(S(n))为真；则φ(n)\varphi \left( n \right)φ(n)对任意自然数nnn都成立。 - 数学归纳法

定义2（冯·诺依曼的自然数定义）

20世纪初，集合称为数学的基本概念之后，数学奇才，计算机之父冯·诺依曼基于基数，利用一个集合的序列来定义自然数：

∅∈N\varnothing \in N∅∈N
若n∈Nn\in Nn∈N，则n′≡n∪{n}∈Nn'\equiv n\cup \left\{ n \right\} \in Nn′≡n∪{n}∈N。
nnn属于自然数，n′n'n′定义为n∪{n}n\cup \left\{ n \right\}n∪{n}属于自然数。

空集属于自然数，空集’定义为空集并上以空集作为元素的集合属于自然数。

∅∪A=A\varnothing \cup A=A∅∪A=A

从而，这个集合序列的基数就可以来定义自然数：

0≡∣∅∣0\equiv \left| \varnothing \right|0≡∣∅∣；
1≡∣∅∪{∅}∣=∣{∅}∣1\equiv \left| \varnothing \cup \left\{ \varnothing \right\} \right|=\left| \left\{ \varnothing \right\} \right|1≡∣∅∪{∅}∣=∣{∅}∣；（一个元素）
2≡∣{∅}∪{{∅}}∣=∣{∅,{∅}}∣2\equiv \left| \left\{ \varnothing \right\} \cup \left\{ \left\{ \varnothing \right\} \right\} \right|=\left| \left\{ \varnothing ,\left\{ \varnothing \right\} \right\} \right|2≡∣{∅}∪{{∅}}∣=∣{∅,{∅}}∣；（两个元素）
.........

3. 如何比较集合的大小？

例子

比较下列的集合对，哪一个的元素个数更多？

集合{1,2,3}\left\{ 1,2,3 \right\}{1,2,3}与集合{a,b,c,d,⋯,x,y,z}\left\{ a,b,c,d,\cdots ,x,y,z \right\}{a,b,c,d,⋯,x,y,z}
第一个集合有3个元素，第二个集合有26个元素，第二个集合更大。
自然数集合N={0,1,2,⋯}N=\left\{ 0,1,2,\cdots \right\}N={0,1,2,⋯}与奇数集合{1,3,5,7,⋯}\left\{ 1,3,5,7,\cdots \right\}{1,3,5,7,⋯}

对于两个有限集合而言，比较二者大小只需要看集合的基数，但对于无限集合却没有这么简单。如何比较无限集合的“大小”呢？这里需要采用一种通过判断两个无限集合之间是否存在一种一一对应的关系来解决这个问题。

等势

定义

设A,BA,BA,B为两个集合，若在A,BA,BA,B之间存在一种一一对应的关系：
Ψ:A→B\varPsi :A\rightarrow B Ψ:A→B
则称 AAA与BBB是等势的（equipotential），记作：
A∼BA \sim B A∼B

由等势定义可以看出，如果A=BA=BA=B，那么A∼BA \sim BA∼B，反之不成立。

4. 可数集合

定义

凡与自然数集合NNN等势的集合，称为可数集合（countable set），该集合的基数记为ℵ0\aleph _0ℵ0（读作阿列夫零）

例子

试证明下列集合都是可数集合.
(1) O+={x∣x∈N,x是正奇数}O^+=\left\{ x\left| x\in N, x\text{是正奇数} \right. \right\}O+={x∣x∈N,x是正奇数}；
(2) P={x∣x∈N,x是素数}P=\left\{ x\left| x\in N, x\text{是素数} \right. \right\}P={x∣x∈N,x是素数};
(3) 有理数集合QQQ；

正奇数集合O+O^+O+与素数集合PPP

证明：

在O+O^+O+与NNN之间建立一个一一对应关系φ1:N→O+\varphi _1:N\rightarrow O^+φ1:N→O+如下：0123⋯n⋯↓↓↓↓↓1357⋯2n+1⋯\begin{matrix} 0& 1& 2& 3& \cdots& n& \cdots\\ \downarrow& \downarrow& \downarrow& \downarrow& & \downarrow& \\ 1& 3& 5& 7& \cdots& 2n+1& \cdots\\ \end{matrix} 0↓11↓32↓53↓7⋯⋯n↓2n+1⋯⋯
所以O+O^+O+是可数集合。

在PPP与NNN之间建立一个一一对应关系φ2:N→P\varphi _2:N\rightarrow Pφ2:N→P如下：01234567⋯↓↓↓↓↓↓↓↓235711131719⋯\begin{matrix} 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& \cdots\\ \downarrow& \downarrow& \downarrow& \downarrow& \downarrow& \downarrow& \downarrow& \downarrow& \\ 2& 3& 5& 7& 11& 13& 17& 19& \cdots\\ \end{matrix} 0↓21↓32↓53↓74↓115↓136↓177↓19⋯⋯

所以PPP是可数集合。

正奇数集合、正偶数集合和素数集合都是自然数集合的真子集，通过证明它们都是可数集合，它们的基数都是ℵ0\aleph _0ℵ0。

有理数集合QQQ

证明：

在QQQ与NNN之间建立一个一一对应关系φ3:N→Q\varphi _3:N\rightarrow Qφ3:N→Q如下图所示。注意，所有有理数以分数p/qp/qp/q的形式表示，其上标表示对应的自然数。

⋯←−3/1[18]−2/1[5]←−1/1[4]0/1[0]→1/1[1]2/1[10]→3/1[11]→⋯⋯↑↓↑↓↑↓⋯⋯−3/2[17]−2/2−1/2[3]←0/2←1/2[2]2/2→3/2[12]⋯⋯↑↓↑↓⋯⋯−3/3−2/3[6]→−1/3[7]→0/3→1/3[8]→2/3[9]3/3⋯⋯↑↓⋯⋯−3/4[16]←−2/4←−1/4[15]←0/4←1/4[4]←2/4←3/4[13]⋯\begin{matrix} \cdots& \gets& -3/1^{\left[ 18 \right]}& & -2/1^{\left[ 5 \right]}& \gets& -1/1^{\left[ 4 \right]}& & 0/1^{\left[ 0 \right]}& \rightarrow& 1/1^{\left[ 1 \right]}& & 2/1^{\left[ 10 \right]}& \rightarrow& 3/1^{\left[ 11 \right]}& \rightarrow& \cdots\\ \cdots& & \uparrow& & \downarrow& & \uparrow& & & & \downarrow& & \uparrow& & \downarrow& & \cdots\\ \cdots& & -3/2^{\left[ 17 \right]}& & -2/2& & -1/2^{\left[ 3 \right]}& \gets& 0/2& \gets& 1/2^{\left[ 2 \right]}& & 2/2& \rightarrow& 3/2^{\left[ 12 \right]}& & \cdots\\ \cdots& & \uparrow& & \downarrow& & & & & & & & \uparrow& & \downarrow& & \cdots\\ \cdots& & -3/3& & -2/3^{\left[ 6 \right]}& \rightarrow& -1/3^{\left[ 7 \right]}& \rightarrow& 0/3& \rightarrow& 1/3^{\left[ 8 \right]}& \rightarrow& 2/3^{\left[ 9 \right]}& & 3/3& & \cdots\\ \cdots& & \uparrow& & & & & & & & & & & & \downarrow& & \cdots\\ \cdots& & -3/4^{\left[ 16 \right]}& \gets& -2/4& \gets& -1/4^{\left[ 15 \right]}& \gets& 0/4& \gets& 1/4^{\left[ 4 \right]}& \gets& 2/4& \gets& 3/4^{\left[ 13 \right]}& & \cdots\\ \end{matrix} ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯←−3/1[18]↑−3/2[17]↑−3/3↑−3/4[16]←−2/1[5]↓−2/2↓−2/3[6]−2/4←→←−1/1[4]↑−1/2[3]−1/3[7]−1/4[15]←→←0/1[0]0/20/30/4→←→←1/1[1]↓1/2[2]1/3[8]1/4[4]→←2/1[10]↑2/2↑2/3[9]2/4→→←3/1[11]↓3/2[12]↓3/3↓3/4[13]→⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

所以QQQ是可数集合。

第一列是分母为1的分数；
第二列是分母为2的分数；
第一列是分母为3的分数；
第二列是分母为4的分数；
……
0/1=0对应有理数中的0
按照箭头一一对应。
1/1对应1，1/2对应2，0/2=0跳过，
-1/2对应3，-1/1对应4，-2/1对应5，-2/2=-1跳过，
-2/3对应6……
螺旋往复地一一对应。

从有限到无限，不仅仅是简单数量上的变化（量变），而引起了本质的改变（质变）。

两个无限集合的“大小”已经不能单纯使用集合中的元素个数来衡量。ℵ0\aleph _0ℵ0表示一切可数集合的基数，是一种抽象的表达。
表面上个数完全不相等的两个集合之间扔可能存在等势关系，如集合与其真子集之间，这体现了有限集合和无限集合的根本差别。

5. 不可数集合

定义

开区间(0,1)(0,1)(0,1)称为不可数集合，凡与开区间(0,1)(0,1)(0,1)等势的集合，称为不可数集合，该类集合的基数记为ℵ\alephℵ（读作阿列夫）

例子

闭区间[0,1]\left[ 0,1 \right][0,1]是不可数集合；
{14→012→112n→12n−2(n=3,4,5⋯)n→n(othersn∈(0,1))\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{4}& \rightarrow& 0& \\ \frac{1}{2}& \rightarrow& 1& \\ \frac{1}{2^n}& \rightarrow& \frac{1}{2^{n-2}}& \left( n=3,4,5\cdots \right)\\ n& \rightarrow& n& \left( others\,\,n\in \left( 0,1 \right) \right)\\ \end{matrix} \right. ⎩⎨⎧41212n1n→→→→012n−21n(n=3,4,5⋯)(othersn∈(0,1))
实数集合RRR是不可数集合. n→tan⁡π(2n−12)n\rightarrow \tan \pi \left( \frac{2n-1}{2} \right) n→tanπ(22n−1)

总结

本文介绍了集合论基础中的可数集合与不可数集合部分，对集合有更多的了解。

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2. 自然数集的定义

定义1（皮亚诺公理）

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3. 如何比较集合的大小？

例子

等势

定义

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定义

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定义

例子

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