初等数学O 集合论基础第二节映射与集合的势

这一节的目标是基于映射建立比较集合“大小”的工具——集合的势(cardinality)，也被称为集合的基数，这个工具是自然数的基数理论的基础。

定义0.6 映射 X,YX,YX,Y是两个非空集合，称f:X→Yf:X \to Yf:X→Y是一个映射，如果
∀x∈X,∃!y∈Y,f(x)=y\forall x \in X, \exists !y \in Y,f(x)=y∀x∈X,∃!y∈Y,f(x)=y

称XXX为原像空间，YYY为像空间，f(X)f(X)f(X)是值域，f−1(A)f^{-1}(A)f−1(A)是集合AAA的拉回(pre-image)，∀A⊆f(X)\forall A \subseteq f(X)∀A⊆f(X)
f(X)={y∈Y:∃x∈X,f(x)=y}f−1(A)={x∈X:f(x)=y,y∈A}f(X)=\{y \in Y:\exists x \in X,f(x)=y\} \\ f^{-1}(A)=\{x \in X:f(x)=y, y \in A\}f(X)={y∈Y:∃x∈X,f(x)=y}f−1(A)={x∈X:f(x)=y,y∈A}

根据值域与拉回的定义，我们可以直接获得下面的恒等式
f−1(f(X))=Xf^{-1}(f(X))=Xf−1(f(X))=X

用逐个元素的方式表述单射、满射、双射：

称f:X→Yf:X \to Yf:X→Y是一个单射，如果
∀x1,x2∈X,x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2)\forall x_1,x_2 \in X,x_1 \ne x_2\Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)∀x1,x2∈X,x1=x2⇒f(x1)=f(x2)

称f:X→Yf:X \to Yf:X→Y是一个满射，如果
∀y∈Y,∃x∈X,f(x)=y\forall y \in Y,\exists x \in X,f(x)=y∀y∈Y,∃x∈X,f(x)=y

称f:X→Yf:X \to Yf:X→Y是一个双射，如果fff既是单射也是满射，或者说
∀y∈Y,∃!x∈X,f(x)=y\forall y \in Y, \exists ! x \in X,f(x)=y∀y∈Y,∃!x∈X,f(x)=y

用集合的方式表述单射、满射、双射：
称f:X→Yf:X \to Yf:X→Y是一个单射，如果
f(X)⊆Yf(X) \subseteq Yf(X)⊆Y

称f:X→Yf:X \to Yf:X→Y是一个满射，如果
f−1(Y)⊆Xf^{-1}(Y) \subseteq Xf−1(Y)⊆X

称f:X→Yf:X \to Yf:X→Y是一个双射，如果fff既是单射也是满射，或者说
Y=f(X)Y=f(X)Y=f(X)

定义0.7 集合的势
如果nnn是一个有限的数，假设f:X→{1,2,⋯,n}f:X \to \{1,2,\cdots,n\}f:X→{1,2,⋯,n}是一个双射，我们就称集合XXX的势为nnn，也就是集合XXX有nnn个元素，记为∣X∣=n|X|=n∣X∣=n

注按这个定义我们只能处理有限个元素的集合，为了这个工具使用范围更广，我们需要扩充我们的工具箱，这就需要借助映射对势进行公理化定义。

定义0.8 势的大小关系
考虑映射f:X→Yf:X \to Yf:X→Y，如果

fff是一个单射，则∣X∣≤∣Y∣|X| \le |Y|∣X∣≤∣Y∣
fff是一个满射，则∣X∣≥∣Y∣|X| \ge |Y|∣X∣≥∣Y∣
fff是一个双射，则∣X∣=∣Y∣|X|=|Y|∣X∣=∣Y∣

评注0.2 集合的大小关系有很多种定义方式，比如集合的包含关系就是一种比较集合“大小”的方法，再比如集合的势也是比较集合“大小”的方法，具体采用什么方法比较两个集合取决于我们想要保留的元素的“属性”。如果我们用集合的包含关系定义集合的“大小”，那么被比较大小的两个集合一定有部分元素是同质的，所以才会出现包含关系；如果我们用集合的势定义集合的大小关系，那么被比较大小的两个集合的元素本身的属性就被摒弃了，剩下的只是元素作为“计数工具”的性质，比如一个集合中的元素是猫、另一个集合中的元素是老鼠，那么在用势比较集合大小时，猫和老鼠的各种理化生属性都被我们忽略了，最后剩下的计数作用意味着一只猫表示1，一只老鼠也表示1。所以势这种工具更加抽象化、公理化，这也是为什么基于势可以进一步定义出自然数的概念的原因。

下面介绍势的一些简单性质。
定理0.2 ∣X∣≤∣Y∣⇔∣Y∣≥∣X∣|X| \le |Y| \Leftrightarrow |Y| \ge |X|∣X∣≤∣Y∣⇔∣Y∣≥∣X∣

证明
⇒\Rightarrow⇒: ∣X∣≤∣Y∣|X| \le |Y|∣X∣≤∣Y∣说明存在f:X→Yf:X \to Yf:X→Y，且fff是单射，取x0∈Xx_0 \in Xx0∈X，定义g:Y→Xg:Y \to Xg:Y→X满足
g(y)={x0,y∈Y∖f(X)f−1(y),y∈f(X)g(y) = \begin{cases} x_0,\ \ y \in Y \setminus f(X) \\ f^{-1}(y),\ \ y \in f(X) \end{cases}g(y)={x0, y∈Y∖f(X)f−1(y), y∈f(X)

显然ggg是一个满射，因此∣Y∣≥∣X∣|Y| \ge |X|∣Y∣≥∣X∣。

⇐\Leftarrow⇐: ∣Y∣≥∣X∣|Y| \ge |X|∣Y∣≥∣X∣说明存在g:Y→Xg:Y \to Xg:Y→X，且ggg是满射，因此集列{g−1({x}):x∈X}\{g^{-1}(\{x\}):x \in X\}{g−1({x}):x∈X}中的元素非空且无交，我们从g−1({x})g^{-1}(\{x\})g−1({x})中任取一个元素，记为axa_xax，并构造映射f:X→Yf:X \to Yf:X→Y满足f(x)=ax,∀x∈Xf(x)=a_x,\forall x \in Xf(x)=ax,∀x∈X，显然fff是一个单射，因此∣X∣≤∣Y∣|X| \le |Y|∣X∣≤∣Y∣。
证毕

定理0.3 对任意集合X,YX,YX,Y，要么∣X∣≤∣Y∣|X| \le |Y|∣X∣≤∣Y∣，要么∣X∣≥∣Y∣|X| \ge |Y|∣X∣≥∣Y∣

定理0.4 Schroeder-Bernstein定理 对任意集合X,YX,YX,Y，如果∣X∣≤∣Y∣|X| \le |Y|∣X∣≤∣Y∣并且∣X∣≥∣Y∣|X| \ge |Y|∣X∣≥∣Y∣，则∣X∣=∣Y∣|X|=|Y|∣X∣=∣Y∣
证明
如果∣X∣≤∣Y∣|X| \le |Y|∣X∣≤∣Y∣并且∣X∣≥∣Y∣|X| \ge |Y|∣X∣≥∣Y∣，则存在f:X→Yf:X \to Yf:X→Y, g:Y→Xg:Y \to Xg:Y→X是单射，根据单射的集合定义，f(X)⊆Yf(X) \subseteq Yf(X)⊆Y，于是我们可以把YYY分成两部分，
Y=f(X)⊔(Y∖f(X))Y = f(X) \sqcup (Y \setminus f(X))Y=f(X)⊔(Y∖f(X))

另外，ggg也是单射，因此g(Y)⊆Xg(Y) \subseteq Xg(Y)⊆X，我们可以把XXX分为三部分
X=g(f(X))⊔g(Y∖f(X))⊔(X∖g(Y))X=g(f(X)) \sqcup g(Y \setminus f(X)) \sqcup (X \setminus g(Y))X=g(f(X))⊔g(Y∖f(X))⊔(X∖g(Y))

基于这个发现我们可以定义一个映射h:X→Yh:X \to Yh:X→Y，满足
h(x)={f(x),x∈g(f(X))⊔(X∖g(Y))g−1(x),x∈g(Y∖f(X))h(x) = \begin{cases} f(x), \ x \in g(f(X))\sqcup (X \setminus g(Y)) \\ g^{-1}(x), \ x \in g(Y \setminus f(X)) \end{cases}h(x)={f(x), x∈g(f(X))⊔(X∖g(Y))g−1(x), x∈g(Y∖f(X))

则hhh是一个双射，所以∣X∣=∣Y∣|X|=|Y|∣X∣=∣Y∣。
证毕

评注0.3

证明势的大小关系依据定义0.8，要证明∣X∣≤∣Y∣|X|\le |Y|∣X∣≤∣Y∣，只需要构造一个X→YX \to YX→Y的映射并说明它是单射即可，其他情况类似，因为按照定义，我们需要验证这样的映射的存在性，一般而言说明存在性的方法就是做构造性证明。
定理0.2充分性的证明实际上用到了选择公理，它保证对任何g−1({x})g^{-1}(\{x\})g−1({x})，我们可以选择出一个元素作为某个映射的像，另外，要让定理充分性的证明更加严谨，我们还需要说明fff是一个良定义，也就是不管我们从g−1({x})g^{-1}(\{x\})g−1({x})中选择的是axa_xax还是bxb_xbx，fff都是一个映射。关于良定义的验证我们在介绍了二元关系与等价类之后再引入。
定理0.3的证明需要用到序关系，所以此处暂时略去证明。
这三个定理给后面自然数的基数理论中建立自然数的大小关系提供了基础。

下面介绍一种有趣的集列——幂集(power set)。

定义0.9 幂集
假设XXX是一个非空集合，称它的所有子集构成的集列为它的幂集，记为P(X)\mathcal{P}(X)P(X)，即
P(X)={E:E⊆X}\mathcal{P}(X)=\{E:E \subseteq X\}P(X)={E:E⊆X}

定理0.5 对任意非空集合
∣X∣<∣P(X)∣|X| < |\mathcal{P}(X)|∣X∣<∣P(X)∣

当XXX元素个数有限，或者说当∣X∣=n|X|=n∣X∣=n时，∣P(X)∣=2n|\mathcal{P}(X)|=2^n∣P(X)∣=2n。

证明

第一部分：说明存在X→P(X)X \to \mathcal{P}(X)X→P(X)的不是满射的单射，考虑f:X→P(X)f:X \to \mathcal{P}(X)f:X→P(X)满足
f(x)={x}f(x)=\{x\}f(x)={x}

显然fff是单射但不是满射，因此∣X∣<∣P(X)∣|X| < |\mathcal{P}(X)|∣X∣<∣P(X)∣

第二部分：假设XXX有nnn个元素，则XXX有2n2^n2n个子集，所以∣P(X)∣=2n|\mathcal{P}(X)|=2^n∣P(X)∣=2n，这个结论并不能简单地推广到无穷个元素的情况，我们会在介绍到自然数的时候开始逐步引入无穷的概念。

最后我们介绍一些拉回(pre-image)的运算性质。

定理0.6假设f:X→Yf:X \to Yf:X→Y是一个映射，{Ei}i=1n\{E_i\}_{i=1}^n{Ei}i=1n是一个集列，∀i∈{1,⋯,n}\forall i\in \{1,\cdots,n\}∀i∈{1,⋯,n}，Ei⊆YE_i\subseteq YEi⊆Y，则下面的结论成立

f−1(⋃i=1nEi)=⋃i=1nf−1(Ei)f^{-1}(\bigcup_{i=1}^nE_i)=\bigcup_{i=1}^n f^{-1}(E_i)f−1(⋃i=1nEi)=⋃i=1nf−1(Ei)
f−1(⋂i=1nEi)=⋂i=1nf−1(Ei)f^{-1}(\bigcap_{i=1}^nE_i)=\bigcap_{i=1}^n f^{-1}(E_i)f−1(⋂i=1nEi)=⋂i=1nf−1(Ei)
f−1(EiC)=(f−1(Ei))C,∀i∈{1,⋯,n}f^{-1}(E_i^C)=(f^{-1}(E_i))^C,\forall i\in \{1,\cdots,n\}f−1(EiC)=(f−1(Ei))C,∀i∈{1,⋯,n}

证明
这三个结论的证明方法就是上一讲介绍的证明集合相等的方法，套路比较固定。

i）∀y∈f−1(⋃i=1nEi)\forall y \in f^{-1}(\bigcup_{i=1}^nE_i)∀y∈f−1(⋃i=1nEi), ∃x∈⋃i=1nEi\exists x \in \bigcup_{i=1}^nE_i∃x∈⋃i=1nEi, f(x)=yf(x)=yf(x)=y，因为x∈⋃i=1nEix \in \bigcup_{i=1}^nE_ix∈⋃i=1nEi，∃i∈{1,⋯,n}\exists i \in \{1,\cdots,n\}∃i∈{1,⋯,n}, x∈Eix \in E_ix∈Ei，于是y∈f−1(Ei)⊆⋃i=1nf−1(Ei)y \in f^{-1}(E_i) \subseteq \bigcup_{i=1}^n f^{-1}(E_i)y∈f−1(Ei)⊆⋃i=1nf−1(Ei)。

ii）∀y∈f−1(⋂i=1nEi)\forall y \in f^{-1}(\bigcap_{i=1}^nE_i)∀y∈f−1(⋂i=1nEi), ∃x∈⋂i=1nEi\exists x \in \bigcap_{i=1}^nE_i∃x∈⋂i=1nEi, f(x)=yf(x)=yf(x)=y，因为x∈⋂i=1nEix \in \bigcap_{i=1}^nE_ix∈⋂i=1nEi，∀i∈{1,⋯,n}\forall i \in \{1,\cdots,n\}∀i∈{1,⋯,n}, x∈Eix \in E_ix∈Ei，于是∀i∈{1,⋯,n},y∈f−1(Ei)⇒y∈⋂i=1nf−1(Ei)\forall i\in \{1,\cdots,n\}, y \in f^{-1}(E_i) \Rightarrow y \in \bigcap_{i=1}^n f^{-1}(E_i)∀i∈{1,⋯,n},y∈f−1(Ei)⇒y∈⋂i=1nf−1(Ei)。

iii）∀y∈f−1(EiC)\forall y \in f^{-1}(E_i^C)∀y∈f−1(EiC), 不存在x∈Eix \in E_ix∈Ei, 使得f(x)=yf(x)=yf(x)=y，于是y∉f−1(Ei)y \notin f^{-1}(E_i)y∈/f−1(Ei)，那么y∈(f−1(Ei))Cy \in (f^{-1}(E_i))^Cy∈(f−1(Ei))C。