指数函数对数函数导数定义推导

对 $a^x$ 和 $log_ax$ 求导的推导做一个总结。

我以前接触到的推法是：

首先记住

$(log_ax)'=\frac{1}{x*lna}$ ,

之后 $a^x$ 的导数可以根据对数的导数推导如下：

令 $y=a^x$ , 所以 $x = log_ay$ ，俩边求导, 根据复合函数求导法则为：

$(log_ay)'=x'$

$\Rightarrow$

$y'\frac{1}{y*lna}=1$

$\Rightarrow$

$y'=y*lna=a^xlna$

或者记住 $a^x$ 的导数，用复合函数求导推 $log_ax$ 的导数。但是个人觉得这种做法太讨巧了，而且我也不是总能记住其中一个的导数是什么，一般是一忘就都忘了。理解一个东西，还是得从定义上去理解，找了一个百度百科的定义：

导数：当函数 $y=f(x)$ 的自变量 $x$ 在一点 $x_0$ 上产生一个增量 $\Delta x$ 时，函数输出值的增量 $\Delta y$ 与自变量增量 $\Delta x$ 的比值在 $\Delta x$ 趋于0时的极限 $a$ 如果存在， $a$ 即为在 $x_0$ 处的导数，记作 $f'(x_0)$ 或 $\frac{df(x_0)}{dx}$ 。

既然是定义，那么肯定具有普适性，所以就从定义去推导一下导数。

指数函数导数定义推导

$f'(a^{x_0})=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{{{a^{x_0 + \Delta x}-a^{x_0}}}}{\Delta x} \\ =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{x_0}(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}}$

令 $y=a^{\Delta x} - 1$ , 则有 $\Delta x = log_a(y+1)$ ,则

$f'(a^{x_0})=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{a^{x_0}*y}{log_a(y+1)}\\=a^{x_0}\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{1}{log_a(y+1)^\frac{1}{y}}$

当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，

$\frac{1}{y}\rightarrow+\infty$ , 此时 $log_a(y+1)^\frac{1}{y}=log_ae$ ，因此：

$f'(a^{x_0})=a^{x_0}*\frac{1}{log_ae}=a^{x_0}*lna$

对数函数导数定义推导

对数函数求导同样：

$f'(log_ax_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{{log_a(x_0+\Delta x)}-log_ax_0}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{\Delta x}log_a\frac{x_0+\Delta x}{x_0}\\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}log_a(1+\frac{\Delta x}{x_0})^\frac{1}{\Delta x}\\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{x_0}log_a(1+\frac{\Delta x}{x_0})^\frac{x_0}{\Delta x}$

当 $\Delta x\rightarrow0$ 的时候， $\frac{x_0}{\Delta x}\rightarrow\infty$ ，此时

$log_a(1+\frac{\Delta x}{x_0})^\frac{x_0}{\Delta x}=log_ae$ ，

$f'(log_ax_0)=\frac{1}{x_0}log_ae=\frac{1}{x_0lna}$

其中 $log_ae=\frac{lne}{lna}$ 是用了换底公式，换底公式的证明：

有一个等式： $c=log_ab$ ，假设其中 $e^x=a, e^y=b$ ，

所以 $c=log_{e^x}e^y=\frac{y}{x}log_ee$

由于 $x=lna, y=lnb$ ,所以

$c=\frac{y}{x}=\frac{lnb}{lna}$

来自：https://zhuanlan.zhihu.com/p/40260702

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