2021-11-05导数定义的应用

为什么在0点的邻域不连续。因为变量x可以从有理数的方向趋近零，可以从无理数的方向趋近零，有理点趋近等于0，无理点趋近等于非零常数，所以极限不存在，所以领域不连续。但是可以证明该点的导数存在，所以仅仅在该点是连续的。一个点连续哦。一个点就可以连续。

对于导数的应用，不要完全限制于定义的用法，对于定点加无穷小的形式，我们采用以上的方式，把变化量扣出，用定义表示变化量。

什么时候使用导数定义，中断函数的断点处，或者求导不方便的时候，用定义更方便的时候。

求分段点的导数，有三个方法，1用定义，任意函数都可以，没有前提条件。2求导带入，需要在断点有等号，这是由于定义要求的。3导函数的极限，这个方法可以处理有等号和没有等号的情况，但是有前提条件，那就是断点到一个方向的领域闭区间连续，开区间可导，那么这个方向的左（右）导数就可以用洛必达算出来。

可导+不可导=不可导。

|x-a|f(x)可导的充分条件是：f(x)连续且f(a)=0则|x-a|f(x)可导

连续函数是被积函数，变上限函数一定可导。

一个函数可导，不代表该导函数连续，也就是说会可能有间断点，但是只能会有第二类间断点。导函数不一定连续，但是导函数具有介值性（左端点右导数不等于右端点左导数，导数区域任意值一定有某点的导数值与之对应）。

导函数两端的导数异号，则一定有中间某一点的导数等于0。其逆否：如果导数在区间内没有0点，则导数恒大于零或恒小于零。

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