隐函数+导数定义思路

2024-04-20 14:56:31

隐函数+导数定义思路

@(微积分)

有一种冲动的情况是，看到方程就想求解出方程的表达式，然后再根据题意是求积分还是求解导数，以为这样就是解决方案。

诚然，能求解表达式的问题，当然首先就上手求解。但是当感觉求不下去的时候，要理性判断，这个问题不该这么解，应该有更技术一些的思路。

举一个例子：
（2013.9）设函数y = f(x)由方程y−x=ex(1−y)y-x = e^{x(1-y)}确定，求limn→∞n[f(1n)−1]=?\lim_{n\rightarrow \infty} n[f(\frac{1}{n})-1] = ?

分析：良好的思路是先看求解问题形式，这个很容易拉拉扯扯变成一个导数的定义形式。

limn→∞n[f(1n)−1]=limn→∞f(1n)−11n

\lim_{n\rightarrow \infty} n[f(\frac{1}{n})-1]\\ = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{f(\frac{1}{n})-1}{\frac{1}{n}}

可见是求解f′(0)f'(0),如果大胆猜测f(0)=1f(0) = 1就不用动手去解了。可以节省一点点时间。求也很快，代入x=0,马上得到y=1.

再对隐函数求导一次即可。

y′=1=ex(1−y)−xy′→y′(0)=1.y' = 1 = e^{x(1-y)-xy'} \rightarrow y'(0) = 1.

THE END

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