【HAOI2008】【BZOJ1041】圆上的整点

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求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。

Input

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整点个数

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4
Sample Output

4
HINT

n<=2000 000 000

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不要看见圆就以为是几何QwQ
这题其实TMD是数论啊(╯‵□′)╯︵┻━┻
推公式
x2+y2=r2 x^2+y^2=r^2所以 y2=r2−x2=(r+x)(r−x) y^2=r^2-x^2=(r+x)(r-x)
可以发现 r+x r+x和 r−x r-x必定存在一个最大公约数为d.
那么 y2=d2r+xdr−xd y^2=d^2\frac {r+x} d \frac {r-x} d
设后面那两个分式分别为A,B
那么一定有 Gcd(A,B)=1 Gcd(A,B)=1
观察 y2 y^2那个式子,既然 y2,d2 y^2,d^2都是完全平方数,那么A和B一定也是完全平方数(在不相等的情况下).
于是我们令 a2=A,b2=B a^2=A,b^2=B, a2+b2=2rd|a<b a^2+b^2=\frac {2r} d|a
2rd \frac {2r} d为一整数,所以d必定是2r的一个因子.
因此从 1 1到2r−−√\sqrt{2r}枚举d.
那么只有 2rmodd=0 2r \mod d=0时才会有答案出现.
注意出现答案时必须满足 A≠B A\neq B,A,B互质
我们知道,d是2r的约数有两种情况
①d 此时枚举a从1到 d2−−√ \sqrt \frac d 2, b=d−a2−−−−−√ b=\sqrt{d-a^2}
② 2rd \frac {2r} d 枚举a从1到 2r2d−−−√ \sqrt \frac {2r} {2d}, b=2rd−a2−−−−−−√ b=\sqrt{\frac {2r} d-a^2}
注意每次得到答案要进行检验使得A,B满足条件

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
LL r,ans;
LL gcd(LL a,LL b)
{return !b?a:gcd(b,a%b);
}
bool pd(LL a,double b)
{if (floor(b)==b){LL tmpb=(LL)(floor(b));if (gcd(tmpb*tmpb,a*a)==1&&tmpb*tmpb!=a*a)  return 1;}return 0;
}
int main()
{scanf("%lld",&r);for (LL d=1;d<=(LL)(sqrt(2*r));d++){if (2*r%d==0){for (LL a=1;a<=(LL)(sqrt((2*r)/(2*d)));a++){double b=sqrt(2*r/d-a*a);if (pd(a,b))    ans++;}if (d!=2*r/d){for (LL a=1;a<=(LL)(sqrt(d/2));a++){double b=sqrt(d-a*a);if (pd(a,b))    ans++;}}}}printf("%lld",ans*4+4);
}

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