极值理论（一）：极大值极限分布

1 为什么引入广义极值分布：

考虑随机变量序列 $\left \{ X_{n} \right \}$ 极大值分布： $P(M_{n}\leq x)=F^{n}(x)$ ，当 $n \to \infty$ 时， $F^{n}(x)$ 不一定是依分布收敛的（一般我们总是期望它是收敛的）。因此，我们引入广义极值分布来描述标准化 $M_{n}$ 。

2 广义极值分布（GEV）：

对于标准化 $M_{n}$ 有

$1+\xi x> 0$

$\xi$ =0：Gumbel分布； $\xi$ >0：Frechet分布； $\xi$ <0：weibull分布

何谓标准化：对于实际 $M_{n}$ ，若存在实常数序列 $\left \{ c_{n} \right \}$ 、 $\left \{ d_{n} \right \}$ ，使得：

则称 $\left ( M_{n}-d_{n} \right )/c_{n}$ 为标准化

由此引出三参数分布族 $H_{\xi ,\mu ,\sigma }(x)$ $=H((x-\mu )/\sigma )$ :

$P(M_{n}\leq x)=P((M_{n}-d_{n})/c_{n}\leq (x-d_{n})/c_{n})=H((x-d_{n})/c_{n})$ （ $n \to \infty$ ）

实际上， $\mu =d_{n}$ ， $\sigma =d_{n}$

GEV分布图像：

定义与定理：

举个例子：

3 极小值收敛：

4 极大值吸引域：

本节介绍不同 $\xi$ 下分布的特征

1）Frechet情况：

先引入两个定义：

一个定理：

由此可以推断，对于 $k> 1/\xi ,E(X^{k})=\infty$

Frechet情况本身即为厚尾分布，并且由上述定理可知，这些服从Frechet情况的均为无限高阶矩厚尾分布，因此也成为了EVT中研究最多的分布。

常见分布：

举个例子：

2）Gumbel情况：

尾部指数衰减，分布函数服从 $MDA(H_{0})$ 的正值分布的正阶矩是有限的，此类分布的尾部有较多变化，如薄尾的正态分布与后尾的对数正态分布，在区分其尾部行为时（与Frechet情况），需要搜集大量数据，而金融模型常常将本应是Gumbel情况误当作Frechet情况处理

常见分布：

3）weibull情况：

最不重要的情况，主要是因为其有限的分布右端点。但是信用风险模型会有例外

一个定理：

5 严平稳时间序列极大值：

其中 $\theta$ 为聚类规模的倒数

注： $H^{\theta }(x)\subseteq H_{\xi }(x)$

6 如何实证：

实际上通过上述的讨论，我们可以得知无论是独立同分布序列还是严平稳时序的非标准化极大值的极限分布都是 $H_{\xi ,\mu ,\sigma }(x)$ $=H((x-\mu )/\sigma )$ 类型，考虑用极大似然法估计其参数，首先假设数据分为m个大小为n的组，分别取m个组中的最大值 $M_{nj}( j=1,2,...,m)$ ，得到如下对数似然：

满足 $1+\xi (M_{ni}-\mu )/\sigma > 0$

模型检验与置信区间：

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