广义Pareto分布---极值理论的学习3

看《实用极值统计方法》-----史道济所得。

前言

上一节中，我们讨论了通过观测超过阈值 $\mu$ 的观测值，并用超阈值分布或超出量分布函数来描述，以充分利用观测值数列中的信息。但是，在一般情况下，观测值序列的底分布 $F(x)$ 我们并不知道。于是，我们就要考虑它们的极限分布，就像GEV分布描述最大值的极限分布一样，我们也希望能够找到超出量的极限分布。

一、广义Pareto分布

定义：如果随机变量X的分布函数为

$G(x;\mu,\delta,\varepsilon )=1-(1+\varepsilon \frac{x-\mu}{\delta})^{-1/\varepsilon } ,x\geq \mu,1+\varepsilon (x-\mu)/\delta>0$

则称X服从广义Pareto分布，简记为GPD或GP分布。其中 $\mu \in R$ 是位置参数， $\delta >0$ 为尺度参数， $\varepsilon \in R$ 为形状参数。

另一种表示方法：

ParetoⅠ型分布： $G_{1}(x;\mu,\delta)=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-\frac{x-\mu}{\delta}},x\geq \mu\\ 0,x<\mu \end{matrix}\right.$

ParetoⅡ型分布： $G_{2}(x;\mu,\delta,\alpha )=\left \{\begin{matrix} 1-(\frac{x-\mu}{\delta})^{-\alpha },x\geq \mu+\delta\\ 0,x<\mu+\delta \end{matrix}\right.,\alpha >0$

ParetoⅢ型分布： $G_{3}(x;\mu,\delta,\alpha )=\left\{\begin{matrix} 0,x<\mu-\delta\\ 1-(-\frac{x-\mu}{\delta})^{\alpha },\mu-\delta\leq x\leq \mu\\ 1,x>\mu \end{matrix}\right.,\alpha >0$

当 $\mu=0,\delta=1$ 时，称为标准GPD。可以看出，当 $\ln H_{i}>-1$ 时，有 $G_{i}=1+\ln H_{i}$ 。可见，广义极值分布和广义Pareto分布之间有着非常密切的关系。当 $\mu = 0,\delta>0$ 时，分布函数 $G(x;0,\delta,\varepsilon )$ 有重要作用，称为二参的广义Pareto分布，简记为 $G(x;\delta,\varepsilon )$ 。

不难求出，其密度函数为：

$g(x;\mu,\delta,\varepsilon )=\frac{1}{\delta}(1+\varepsilon \frac{x-\mu}{\delta})^{-1/\varepsilon -1},x\geq \mu,1+\varepsilon (x-\mu)/\delta>0$

另一种表示方法：

$g_{1}(x;\mu,\delta)=\frac{1}{\delta}e^{-\frac{x-\mu}{\delta}},x\geq \mu$

$g_{2}(x;\mu,\delta,\alpha )=\frac{\alpha }{\delta}(\frac{x-\mu}{\delta})^{-\alpha -1},x\geq \mu+\delta;\alpha >0$

$g_{3}(x;\mu,\delta,\alpha )=\frac{\alpha }{\delta}(-\frac{x-\mu}{\delta})^{\alpha -1},\mu-\delta\leq x\leq \mu,\alpha >0$

二、广义Pareto分布的性质

同极值分布一样，根据Gamma函数的性质，可以很方便地求出广义Pareto分布地数字特征。这里，只给出二参广义Pareto分布 $G(x;\delta,\varepsilon )$ 的数字特征。

性质：设随机变量X服从广义Pareto分布 $G(x;\delta,\varepsilon )$ ，则当 $\varepsilon <1/k$ 时，

$E(X^{k})=\frac{\delta^{k}F(\varepsilon ^{-1}-k)}{\varepsilon ^{k+1}F(1+\varepsilon ^{-1})}k!$ ，其中F(x)为Gamma函数。

定义：对于给定的分布函数 $F(x)$ ，如果存在常数 $a_{n},b_{n}$ ，使得对任何实数 $x$ ，都有

$F_{\mu}(a_{n}x+b_{n})=F(x)$

其中 $F_{\mu}(y)=P_{r}(X-\mu\leq y|X>\mu)$ 是超出量分布函数，则称分布函数 $F(x)$ 具有POT稳定性，或称分布函数 $F(x)$ 是POT稳定分布。

性质：广义Pareto是POT稳定分布。

性质：广义Pareto分布的超出量分布函数仍然是GP分布，且形状参数不变。

定义：设随机变量X的分布函数为 $F(x)$ ， $x^{*}$ 为 $F(x)$ 支撑的上端点，X超过阈值 $\mu$ 的超出量分布为 $F_{u}(x)$ ，如果存在广义Pareto分布 $G(x)$ ，使得

$\lim_{\mu\rightarrow x^{*}}F_{u}(x)=G(x)$

则称X（或分布函数 $F(x)$ )属于广义Pareto分布的POT吸引场。

性质：广义极值分布属于广义Pareto分布的POT吸引场。

性质：广义Pareto分布属于广义极值分布的最大值吸引场。

定理：设 $X_{1},X_{2},\cdot \cdot \cdot$ 为独立同分布随机变量，分布函数为 $F(x)$ 。令 $M_{n}=\max \{ X_{1},\cdot \cdot \cdot ,X_{n} \}$ ，如果存在规范化数列 $\{ a_{n}>0 \},\{ b_{n} \}$ ，使得对足够大的n，有

$P_{r}(M_{n}\leq a_{n}x+b_{n})\approx H(x;\mu,\delta,\varepsilon )$

其中 $H(x;\mu,\delta,\varepsilon )$ 是广义极值分布，则对于足够大的阈值 $u$ ，在 $X>\mu$ 的条件下， $X-u$ 的分布近似于GP分布

$G(y;\delta',\varepsilon )=1-(1+\varepsilon y/\delta)^{-1/\varepsilon },y>0;1+\varepsilon y/\delta'>0$

其中 $\delta'=\delta+\varepsilon (u-\mu)$ 。

性质：GP分布的平均超出量函数为

$e(u)=\frac{\delta+\varepsilon (u-\mu)}{1-\varepsilon }$ 。

定义：设随机变量X的分布函数为 $F(x)$ ，对应的密度函数为 $f(x)$ ， $x^{*}$ 是 $F(x)$ 支撑的上端点，对于给定的 $t<x^{*}$ 称

$q(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}$

为随机变量X（或分布F）的危险率函数。