极值分布的类型及性质-----极值理论的学习1

看《实用极值统计方法》--史道济所得。

前言

什么是极值?从概率意义上讲，极值表示随机变量的极端变异性；从统计意义上讲，极值是指数据集中的最大值或最小值。

极值统计方法？在大多数应用中，观测数据所服从的分布是未知的。因此只能得到极值的渐进分布。极值统计方法是为观测到的基于某个样本的极值建立一个概念模型，但必须具备某些条件：①观测对象是随机变量；②其分布保持不变，或其变化可通过某些变换减少其影响；③观测到的极值是独立的。

正文：

1、设 $X_{1},X_{2},\cdot \cdot \cdot X_{n}$ 是独立同分布的随机变量，分布函数为F(x)(称为底分布），对自然数n，令 $M_{n}=\max \left \{X_{1},X_{2},\cdot \cdot \cdot X_{n} \right \}$ ， $m_{n}= \min \left \{ X_{1},X_{2},\cdot \cdot \cdot X_{n} \right \}$ 分别表示n个随机变量的最大值和最小值。

$P_{r}(M_{n}\leqslant x)=P_{r}(X_{1}\leqslant x,\cdot \cdot \cdot X_{n}\leqslant x)=F^{n}(x), x\in R$

$P_{r}(m_{n}\leqslant x)=1-P_{r}(x\leqslant m_{n})=1-[1-F(x)]^{n}, x\in R$

理解：这里的最大值/最小值是变量，而不是定值，即在本独立分布中的n个随机变量中最大值/最小值的分布函数如上式所述。

但是，在通常情况下， $F(x)$ 是未知的，所以我们需要研究最大值/最小值的极限分布。

2、概念介绍： $A=\left \{ x:0<F(x)<1) \right \}, x^{*}=\sup A,x_{*}=\inf A$ ，

称A为分布F的支撑， $x^{*}$ 和 $x_{*}$ 分别为分布F支撑的上端与下端。

理解：A是使 $F(x)$ 取值（0，1）的x的集合，而上端是集合中x的最大取值，下端为集合中x的最小取值。

3、（Fisher-Tippett的极限类型定理）设 $X_{1},X_{2},\cdot \cdot \cdot X_{n}$ 是独立同分布的随机变量序列，如果存在常数列 $\left \{ a_{n}>0 \right\}$ 和 $b_{n}$ ，使得

$\lim_{n\rightarrow \infty }P_{r}(\frac{M_{n}-b_{n}}{a_{n}}\leqslant x)=H(x), x\in R$ （规范化处理， $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 为规范化常数）

成立， $H(x)$ 为非退化的分布函数，那么 $H(x)$ 必然属于下列三种类型之一：

Ⅰ型分布： $H_{1}(x)=exp(-e^{-x}), -\infty <x<+\infty$ 称为Gumbel分布，其密度函数为 $h_{1}(x)=e^{-x}H_{1}(x)$

其分布函数如下图所示：

其密度函数如下图所示：

Ⅱ型分布： $H_{2}(x;\alpha )=\begin{Bmatrix} 0, x\leqslant 0 \\ exp\left \{ -x^{-\alpha } \right \},x>0 \end{Bmatrix}$ 称为Frechet分布， $\alpha =1$ 时为标准Frechet分布，其密度函数为 $h_{2}(x;\alpha )=\alpha x^{-(1+\alpha )}H_{2}(x;\alpha)$

其分布函数如下图所示：

其密度函数如下图所示：

Ⅲ型分布： $H_{3}(x;\alpha )=\begin{Bmatrix} exp\left \{ -(-x)^{\alpha } \right \},x\leqslant 0\\ 0,x>0 \end{Bmatrix}$ 称为Weibull分布， $\alpha =1$ 时为标准Weibull分布，其密度函数为 $h_3(x;\alpha )=\alpha (-x)^{\alpha -1}H_3(x;\alpha)$

其分布函数如下图所示：

其密度函数如下图所示：

此定理说明，当 $M_{n}$ 经过线性变换，对应的规范化变量依分布收敛于某一非退化分布，那么不论 $F(x)$ 是什么形式，这个极限分布必然属于上述三种类型之一。从数学角度来讲，这三个模型可以互相转化，因此在某些场合，为方便起见，可以任意假设某一类型。

理解：退化的分布函数是指分布中的参数取特殊情况，使分布式变得更加简单。

4、对于给定的分布函数 $F(x)$ ，如果存在序列 $\left \{ a_{n}>0 \right \}$ ， $\left \{ b_{n} \right \}$ ，使得 $F^{n}(a_{n}x+b_{n})=F(x)$ ，则称分布函数 $F(x)$ 是最大值稳定的。易证：对于极值Ⅰ型分布取值为： $a_{n}=1,b_{b}=\ln n$ ；对于极值Ⅱ型分布取值为： $a_{n}=n^{1/\alpha },b_{n}=0$ ；对于极值Ⅲ型分布取值为： $a_{n}=n^{-1/\alpha },b_{n}=0$ 。

进一步结论：如果一个分布函数 $F(x)$ 是最大值稳定分布，那么该分布是三种分布之一。

5、如果引进位置参数和尺度参数，那么三种类型的分布分别为：

$H_{1}(x;\mu ,\delta )=\exp (-e^{-\frac{x-\mu}{\delta}})$ ， $h_1(x;\mu,\delta)=h_1(\frac{x-\mu}{\delta})/\delta$

$H_2(x;\mu,\delta,\alpha )=\begin{Bmatrix} 0,x\leqslant \mu\\ \exp \{ -(\frac{x-\mu}{\delta})^{-\alpha} \},x>\mu \end{Bmatrix} , \alpha>0$ ， $h_2(x;\mu,\delta,\alpha)=h_2(\frac{x-\mu}{\delta};\alpha)/\delta,x>\mu$

$H_3(x;\mu,\delta,\alpha)=\begin{Bmatrix} \exp \{ -(-\frac{x-\mu}{\delta})^{\alpha} \},x\leqslant \mu\\ 1,x>\mu \end{Bmatrix},\alpha>0$ ， $h_3(x;\mu,\delta,\alpha)=h_3(\frac{x-\mu}{\delta};\alpha)/\delta,x\leqslant \mu$

这三个分布分别代表三种不同的极值行为，但是可以用统一的形式

$H(x;\mu,\delta,\varepsilon )=\exp \{ -(1+\varepsilon \frac{x-\mu}{\delta})^{-1/\varepsilon } \},1+\varepsilon (x-\mu)/\delta>0$

表示，其中 $\mu,\varepsilon \in R,\delta>0$ ，为广义极值分布简称GEV分布， $\varepsilon$ 为形状参数。

易证：

当 $\varepsilon =0$ 时，分布表示Ⅰ型分布；

当 $\varepsilon >0$ 时， $\alpha =1/\varepsilon$ ，分布表示Ⅱ型分布；

当 $\varepsilon <0$ 时， $\alpha =-1/\varepsilon$ ，分布表示Ⅲ型分布。Ⅱ、Ⅲ型分布的位置参数和尺度参数进行适当变换。

6、极值分布的数字特征

称函数

$F(x)=\int_{0}^{+\infty }t^{x-1}e^{-t}d_{t},x>0$

为Gamma函数。它具有如下性质：

（1） $F(\alpha +1)=\alpha F(\alpha )$ ；（2） $F(1/2)=\sqrt{\pi }$

（3） $F(n+1)=n!$ （其中n为正整数）（此处 $F$ 的正确标志在CSDN中找不到，，，，）

若随机变量X的密度函数为 $f(x)$ ，定义它的k阶原点矩为

$\alpha _{k}= E(x^k)=\int_{-\infty }^{+\infty }x^{k}f(x)d_{x},$

当k=1时， $\alpha _{1}=E(X)$ 表示随机变量的数学期望。

k阶中心距为 $\delta _{k}=E(X-E(X))^{k}$ ，随机变量X的方差为

$Var(X)=E(X-E(X))^{2}=\alpha _{2}-\alpha ^{2}$

分别称 $\beta _{\xi }=E(\frac{X-E(X)}{(Var(X))^{1/2}})^{3}$ ， $\beta _{k}=E(X-E(X))^{4}/Var(X)^{2}$ 为偏度系数和峰度系数。

理解：偏度系数：指分布函数偏斜方向和程度的度量。

峰度系数：反映概率密度分布曲线在平均值处峰值高低的特征，形象来说就是峰部的尖度。

7、极限分布的分位数

设 $h$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的不减函数，称

$h^{-1}(p)=inf\{ x \in \mathbb{R} ,h(x)\geq p \}$ $0<p<1$

（按照惯例，空集的下确界是 $\infty$ ）为函数 $h$ 的广义反函数。（inf为下确界，指任意数集E的最大下界）

称分布函数 $F(x)$ 的广义反函数

$F^{-1}(p)=inf\{ x \in \mathbb{R},F(x)\geq p \} 0<p<1$

为它的分位数函数， $x_{p}=F^{-1}(p)$ 称为 $F$ 的 $p$ 分位数。

一般分布函数在其支撑上都是单调连续的，其广义反函数即普通的反函数，即 $F(x_{p})=p$ 。

理解：此处 $p$ 分位数即为该分布中超过 $x_{p}$ 的值发生的概率小于p的最小 $x_{p}$ 值（例如，2分位数）。

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