极值理论（二）：阈值超越量与尾部估计

1 广义帕累托分布对超额分布的估计：

超过阈值u的超额分布：

均值超额分布：

为什么广义帕累托分布能拟合超额分布：

广义帕累托分布：

分布特征：

,且当

举个例子：

2 如何利用广义帕累托分布实证：

1）模型假设：

2）极大似然估计参数：

3）非独立同分布数据如何操作：当极值指数<1时，显然违背了独立假定，一般的做法时忽略这点，此时的极大似然估计称为拟极大似然（QML）方法，由此估计的分布，虽然估计标准误较小，但是点估计值依旧可靠

4）如何选取阈值：

高阈值超越量的引理：

样本均值超额图：

2 尾部风险建模与尾部风险度量：

1）基于GPD模型的尾部估计：

尾部概率的推导：

关于分位数的一些性质：

并且有：

如何实证：

注：关于本节有两个问题，即如何给出VaR与的置信区间

2）Hill模型：

Frechet情况下的尾部指数：

其中是一个正的参数，的估计方法可由下式得出：

由此可以得到Hill估计量的标准形式：

即可以在Hill图中选取一个稳定的区域，寻找的估计量，以书上例图为例：

在估计完尾部指数后，可以得到一个Hill尾部估计量的标准形式：

其中进行的处理是：将视为一个常数，对于高阈值，用，且，其中

重写该公式靠近基于GDP的尾部估计：

但是这个模型是有缺陷的，少了一个参数，模型运作可能会产生一些问题

3）基于不同阈值u（或者说分位数k）的GPD与Hill方法的比较（蒙特卡罗实验）：

金融时间序列的条件极值分布：

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