实对称矩阵必可正交对角化证明

我的小程序：

n阶矩阵A可正交对角化的充分条件是A是实对称矩阵，即若A是实对称矩阵则A必可正交对角化。

首先，有以下定理：

若 $A\in R^{n*n}$ 的特征值为 $\lambda _{1},\lambda _{1},...,\lambda _{n}$ ，且 $\lambda {i}\in R(i=1,2,...,n)$ ，则存在正交矩阵Q，使A相似于如下三角矩阵：

$Q^{-1}AQ = Q^{T}AQ = \begin{bmatrix} \lambda _{1} & * & . & . & *\\ & \lambda _{2} & . & . & .\\ & & . & . & .\\ & & & . & *\\ & & & & \lambda _{n} \end{bmatrix}$

证明如下（数学归纳法）：

设n*n阶矩阵A，当n = 1时，结论显然成立，假设当n - 1时结论成立，我们需要证明当n时，结论也成立。

设A的一个特征值为 $\lambda _{1}$ ，对应的特征向量为 $\alpha _{1}$ ，将 $\alpha _{1}$ 扩展为n维空间的一组标准正交基 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ ，记为： $Q_{1} = [\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}]$ ，则：

$AQ_{1} = [A\alpha _{1},A\alpha _{2},...,A\alpha _{n}] = [\lambda _{1}\alpha _{1},A\alpha _{2},...,A\alpha _{n}]$

因为Q是n维空间的一组标准正交基，所以 $A\alpha _{i}$ 可表示为：

，则：

$AQ_{1} = [\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}]\begin{bmatrix} \lambda _{1} & a_{21} & a_{31} & . & . & a_{n1}\\ 0 & & & & & \\ 0 & & & & & \\ . & & & A_{1} & & \\ . & & & & & \\ 0 & & & & & \end{bmatrix}$ ，

$Q_{1}^{-1}AQ_{1} = Q_{1}^{T}AQ_{1} = [\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}]^{-1} [\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}]\begin{bmatrix} \lambda _{1} & a_{21} & a_{31} & . & . & a_{n1}\\ 0 & & & & & \\ 0 & & & & & \\ . & & & A_{1} & & \\ . & & & & & \\ 0 & & & & & \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda _{1} & a_{21} & a_{31} & . & . & a_{n1}\\ 0 & & & & & \\ 0 & & & & & \\ . & & & A_{1} & & \\ . & & & & & \\ 0 & & & & & \end{bmatrix}$ ，

由相似矩阵有相似特征值，可知n-1阶矩阵 $A_{1}$ 有特征值 $\lambda _{2},\lambda _{3},...,\lambda _{n}$ 。由假设可知，存在n-1阶正交矩阵S使：
$S^{T}A_{1}S = \begin{bmatrix} \lambda _{2} & . & . & *\\ & .& & .\\ & & .& .\\ & & & \lambda _{n} \end{bmatrix}$ ，
记： $Q_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & . & . & 0\\ 0 & & & & \\ . & & S & & \\ . & & & & \\ 0 & & & & \end{bmatrix},Q = Q_{1}Q_{2}$ ，显然Q是正交矩阵（ $QQ^{T} = E$ ）。

$Q^{-1}AQ = Q^{T}AQ = Q_{2}^{T}(Q_{1}^{T}AQ_{1})Q_{2} = Q_{2}^{T}\begin{bmatrix} \lambda _{1} & a_{21} & . & . & a_{n1}\\ 0 & & & & \\ . & & A_{1} & & \\ . & & & & \\ 0 & & & & \end{bmatrix}Q_{2} = \begin{bmatrix} \lambda _{1} & * & . & . & *\\ & \lambda _{2} & & & .\\ & & . & & .\\ & & & . & *\\ & & & & \lambda _{n} \end{bmatrix}$ . 得证。

记：

$B = \begin{bmatrix} \lambda _{1} & * & . & . & *\\ & \lambda _{2} & & & .\\ & & . & & .\\ & & & . & *\\ & & & & \lambda _{n} \end{bmatrix} = Q^{T}AQ$ ，

则：

$B^{T} = (Q^{T}AQ)^{T} = Q^{T}A^{T}Q$ ，

若A为实对称矩阵，即 $A = A^{T}$ ，则 $B^{T} = Q^{T}AQ = B$ ，又因为B为上三角矩阵，所以B必是对角矩阵，即：

$B = \begin{bmatrix} \lambda _{1} & 0 & . & . & 0\\ 0& \lambda _{2} & & & .\\ .& & . & & .\\. & & & . & 0\\ 0& .& .& 0& \lambda _{n} \end{bmatrix}$

所以实对称矩阵必可正交对角化。（另外：根据矩阵可对角化的充要条件，很容易得出n阶实对称矩阵具有n个线性无关的特征向量）

但能正交对角化的矩阵不一定是实对称矩阵。事实上，矩阵A正交相似于对角阵的充要条件是矩阵A为正规矩阵，即 $AA^{T} = A^{T}A$ ，实对称矩阵是正规矩阵的一种。

参考资料：

David.C.Lay《线性代数及其应用》

程云鹏《矩阵论》

史荣昌《矩阵分析》

其他参考：

为什么实对称矩阵一定能对角化？

充分条件和必要条件怎么区分？

实对称矩阵必可正交对角化证明相关推荐

证明：对于实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交
前言不同特征值对应的特征向量相互正交,是实对称矩阵的一个重要属性,而且从这个属性出发可以证明实对称矩阵的另一个属性:实对称矩阵必可相似对角化.对于一个 n 维矩阵,其可相似对角化的充分且必要条件是- ...
线性代数的问题：是否存在这样的矩阵，它满足正交对角化的条件，但它不是实对称矩阵呢？
对称矩阵的对角化问题定理 :对称矩阵的特征值是实数. 定理:设A是n阶对称阵,则必有正交阵P,使得P−1AP=PTAP=ΛP^{-1}AP=P^{T}AP= \LambdaP−1AP=PTAP=Λ, ...
【证明】实对称矩阵特征向量正交
性质 1 设 λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2λ1,λ2 是对称矩阵 A\boldsymbol{A}A 的两个特征值,p1,p2\boldsymbol{p}_1,\boldsymb ...
实对称矩阵为正定矩阵的一个充分必要条件
本文是为了在学习凸优化的时候遇到的一个问题展开讨论的.目的是能够明白凸优化的理论基础,或者尽可能的明白它的理论基础. 1,对称矩阵的特征值是实数. 证明如下:(我是用latex编辑的,这里不能显示公式 ...
实对称矩阵的性质_浅谈矩阵的相似对角化（一）
森屿瑾年:浅谈线性变换和矩阵之间的关系zhuanlan.zhihu.com 通过前面的讨论,我们引出了线性变换在不同基下的矩阵之间的关系,知道了线性变换在不同基下的矩阵是相似的,进而我们可以通过选取 ...
【机器学习】【线性代数 for PCA】矩阵与对角阵相似、一般矩阵的相似对角化、实对称矩阵的相似对角化
Note:PCA主成分分析用到实对称阵的相似对角化,用个文章复习一下相关概念和计算过程. 1.对角矩阵如果一个矩阵满足如下条件,则它就是一个对角阵: (1)是一个方阵 (2)只有对角线元素是非零元素 ...
参考答案：05 实对称矩阵与二次型
本篇图文为<线性代数及其应用>这本教材对应习题册的参考答案. 本章是特征值与特征向量知识的延续,根据谱定理可知实对称矩阵可以正交对角化,对角阵为其特征值,正交矩阵为其两两正交的单位特征向量 ...
线性代数：05 实对称矩阵与二次型
本讲义是自己上课所用幻灯片,里面没有详细的推导过程(笔者板书推导)只以大纲的方式来展示课上的内容,以方便大家下来复习. 本章是特征值与特征向量知识的延续,根据谱定理可知实对称矩阵可以正交对角化,对角阵 ...
矩阵的基础知识回顾:矩阵乘法，矩阵的逆，伴随矩阵，矩阵的转置，行列式，相似矩阵，实对称矩阵
Agenda 1. 矩阵matrix 1.1 矩阵运算matrix operations 1.1.1 矩阵乘法matrix multiplication 1.1.1.1 简化矩阵乘法(facilita ...
线性代数学习笔记——第七十三讲——实对称矩阵的特征值与特征向量
1. 实对称矩阵的特征值都是实数 2. 实对称矩阵不同特征值的实特征向量相互正交

实对称矩阵必可正交对角化证明

我的小程序：

实对称矩阵必可正交对角化证明相关推荐

最新文章

热门文章