[线性代数] 1.3 n阶行列式

先研究三阶行列式：

容易看出：

1) (6)式的每一项都恰好是三个元素的乘积，这三个元素位于不同行、不同列。

因此任一项除正负号外都可以写成 $a_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}$ .

这里每一项的第一个下标(行标)排成标准次序123。

即：

而每一项的第二个下标(列标)，排成p1p2p3，它是1，2，3三个数的某个排列。这样的排列共有6种，对应(6)式共含6项。

2）各项的正负号与列标的排列对照

带正号的三项列标排列是123，231，312.(都是偶排列）

带负号的三项列标排列是132，213，321.(都是奇排列）

经计算可知前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是奇排列。

因此，各项所带的正负号可以表示为 $(-1)^t$ ，其中t为列标排列的逆序数。

总之，三阶行列式可以写成：

其中t为排列 p1p2p3 的逆序数，∑表示对所有排列种类取和。

把行列式推广到一般形式：

设有 $n^2$ 个数，排成n行n列的数表：

作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积，并冠以符号 $(-1)^t$ ，得到形如

其中p1p2...pn为自然数1,2...,n的一个排列，t为这个排列的逆序数。

由于这样的排列共有n!个，因而形如(7)式的项共有n!项。

所有这n!项的代数和

称为n阶行列式，记作：

简记作det( $a_{ij}$ )，其中数 $a_{ij}$ 为行列式的(i,j)元。

当n=1时，一阶行列式|a|=a,注意不要与绝对值号弄混。

主对角线以下的元素都为0的行列式叫做上三角行列式。

主对角线以上的元素都为0的行列式叫做下三角行列式。

主对角线以上和以下的元素都为0的行列式叫做对角行列式。

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