军队文职(数学2+物理)——线性代数 3、矩阵的行列式值(一)
掌握矩阵的行列式知识可以应对多种与之相关的程序题：
程序题1：写程序求如下方程组的解 =》克莱姆法则
程序题2：给定一个N×N的矩阵A，求|A|。=》矩阵的行列式值
程序题3：写程序求1,5,3,9,7的逆序数 =》行列式展开
数学1会从空间角度去分析线性代数，由向量到矩阵再到行列式，是最科学最全面的学习路线，因为越是难的科目越是需要你自身站的高度足够高，能高到站在大气层俯视才好，但在数学2+物理中，线性代数的分值毕竟只有十几分，我们就尽量的简略一下，把一切都以线性方程组求解为目的，以便能将更多的精力花费在大学物理的学习中。
线性方程组的解有下列三种情况：
1、无解 在直角坐标系中二者平行
系数矩阵 ，主对角线相乘和斜对角线再相减为0，如下：
2、有唯一解 在直角坐标系中二者相交于点(1.5,-0.5)
系数矩阵，主对角线相乘和斜对角线再相减不为0，如下：
3、有无穷对个解 在直角坐标系中二者重合
系数矩阵 ，主对角线相乘和斜对角线再相减为0，如下：
可见，对于2X2非齐次线性方程，方程系数的二阶矩阵的主对角线乘积和斜对角乘积相减的结果不为0的情况下，方程才会有唯一解。这个结果就是矩阵的行列式值。
一、行列式定义
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。
如
1)二阶行列式
，主对角线相乘-副对角线相乘
程序题：写代码求2阶行列式的值
int a[2][2];printf("请你输入2阶行列式\n");for (int i = 0; i < 2; i++){for(int j = 0; j < 2; j++){scanf_s("%d", &a[i][j]);}}printf("行列式如下：\n");for (int i = 0; i < 2; i++){for (int j = 0; j < 2; j++){printf("%d", a[i][j]);printf("%s", " ");if (j == 1) {printf("%s", "\n");}}}int result = a[0][0] * a[1][1] - a[0][1] * a[1][0];printf("行列式的值：%d",result);运行结果：
2）三阶行列式
通过构建3X6阶矩阵划线法，得到公式。
程序题：写代码求3阶行列式的值
int a[3][3];printf("请你输入3阶行列式\n");for (int i = 0; i < 3; i++){for(int j = 0; j < 3; j++){scanf_s("%d", &a[i][j]);}}printf("行列式如下：\n");for (int i = 0; i < 3; i++){for (int j = 0; j < 3; j++){printf("%d", a[i][j]);printf("%s", " ");if (j == 2) {printf("%s", "\n");}}}int result = a[0][0] * a[1][1]*a[2][2] + a[0][1] * a[1][2]*a[2][0]+ a[0][2] * a[1][0] * a[2][1]- a[0][0] * a[1][2] * a[2][1]- a[0][1] * a[1][0] * a[2][2]- a[0][2] * a[1][1] * a[2][0];printf("行列式的值：%d",result);运行结果：
2）n阶行列式
n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，逆序数为偶数时带正号，逆序数为奇数时带负号，共有n!项。
n阶行列式的定义中出现了逆序数的概念，用来确定乘积代数和的符号。
逆序数：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数， 那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。
例如在序列 { 2, 4, 3, 1 } 中，逆序依次为 (2,1)，(4,3)，(4,1)，(3,1)，因此该序列的逆序数为 4,是偶排列。
当n=2时，共有2!=2项，即主副对角线乘积的代数和，且主对角线方向为正，副对角线方向为负。
当n=3时，共有3!=6项，通过构建3X6阶矩阵划线法，刚好可以得到这6项乘积，且主对角线方向为正，副对角线方向为负。
当n>3时，共有n!项，通过构建nX2n阶矩阵已无法满足定理，比如n=4时，共有4!=24项，而通过构建nX2n阶矩阵只能得到8项乘积的代数和。
程序题：写代码求n阶行列式的值
现在，根据手头上掌握的知识，我们只能根据n阶行列式的定义来解决这个问题了：
1)第一步需要一个获取n!项所有取自不同行不同列的n个元素的算法，即求1到n的全排列。
2)第二步需要一个获取每项的逆序数的算法(归并排序或者树状数组)，逆序数为偶数时带正号，逆序数为奇数时带负号
3)第三步计算全排列乘积的代数和
上面的思路是根据n阶行列式的定义来求解的，正确的解决了n阶行列式求值的问题 ，但毕竟同时涉及了查找与排序，这会导致最终它的算法复杂度必然是非常高的。对比之前我们解决2阶或者3阶行列式时用的划线法就不存在算法复杂度的问题。
算法复杂度是指算法在编写成可执行程序后，运行时所需要的资源，资源包括时间资源和内存资源。
程序题：求1,2,3...,n的和。
int result=0; for(int i=1;i<=n;i++) {result+=i; }
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