文章目录

前言
一、简述n阶行列式的计算
二、三阶行列式按行展开
- 总结
三、n阶行列式的按行展开
- 定义
- 总结
- 注意
- 例题
- - 例1
  - 例2
四
- 1.下三角行列式（主对角线）
- 2.上三角行列式（主对角线）
- 3.对角型行列式（主对角线）
- 4.下三角行列式（次对角线）
- 5.上三角行列式（次对角线）
- 6.对角型行列式（次对角线）
五、n阶行列式的按列展开
6、n阶行列式既不按行也不按列展开
总结

前言

本笔记记录自B站《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列宋浩老师第二课

一、简述n阶行列式的计算

前面学到二阶行列式和三阶行列式我们可以通过画线来计算行列式的结果。二阶行列式画2根线，三阶行列式画6根线，如果是四阶行列式我们就要画24根线。n阶行列式我们就要画n!这么多根线。这么多线这么多元素计算，我们也很容易画错或计算错误。所以n阶行列式的计算我们用定义来计算。

二、三阶行列式按行展开

为了引入n阶行列式，我们先来回顾一下三阶行列式的展开。
∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣=
a11×a22×a33+a12×a23×a31+a13×a21×a32−a_{11} \times a_{22} \times a_{33}+ a_{12} \times a_{23} \times a_{31}+ a_{13} \times a_{21} \times a_{32}-a11×a22×a33+a12×a23×a31+a13×a21×a32−
a13×a22×a31−a12×a21×a33−a11×a23×a32a_{13} \times a_{22} \times a_{31}- a_{12} \times a_{21} \times a_{33}- a_{11} \times a_{23} \times a_{32}a13×a22×a31−a12×a21×a33−a11×a23×a32
行标：都是123，所以是都是标准排列
列标：取排列的所有可能

列标        逆序数        奇偶性
+123             0             偶
+231             2             偶
+312             2             偶
------------------------------------
-321             3             奇
-213             1             奇
-132             1             奇

通过观察发现，前三行的对应的列标的逆序数都是偶数，三个元素相乘的结果相加。而后三行对应列标的逆序数都是奇数，三个元素相乘的结果相减。

总结

行标取标准排列
列标取排列的所有可能
从不同行不同列取出3个元素相乘
符号是由列标排列的奇偶性决定的

三、n阶行列式的按行展开

定义

n阶行列式的表现形式
∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann∣\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann∣∣
n阶行列式的元素表现形式
a1j1a2j2⋯anjna_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{nj_{n}}a1j1a2j2⋯anjn
行标我们可知是标准排列，123⋯n123 \cdots n123⋯n
列标我们不知道，所以用符号表示j1j2⋯jnj_{1}j_{2} \cdots j_{n}j1j2⋯jn
所以n阶行列式的结果：
∑j1j2⋯jn(−1)N(j1j2…jn)a1j1a2j2⋯anjn\sum\limits_{j_{1}j_{2} \cdots j_{n}}{(-1)^{N(j_{1}j_{2} \dots j_{n})}}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{nj_{n}}j1j2⋯jn∑(−1)N(j1j2…jn)a1j1a2j2⋯anjn
可以简写成：D=∣aij∣\begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix}∣∣aij∣∣

总结

共有n!项
行标取标准排列
列标取排列的所有可能
从不同行不同列取出n个元素相乘
符号是由列标排列的奇偶性决定的

注意

n阶行列式同二阶或三阶一样都有主对角线和次对角线
1阶行列式的结果是他自己：∣a∣=a\begin{vmatrix}a\end{vmatrix}=a∣∣a∣∣=a

例题

例1

∣1238110422051009∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 8 \\ 1 & 1 & 0 & 4 \\ 2 & 2 & 0 & 5 \\ 1 & 0 & 0 & 9 \end{vmatrix}∣∣1121212030008459∣∣
行按标准排列取先取第1行再取第2行再取第3行最后取第4行。
列标我们取所有排列，共4!=24种。排列有：

列标	逆序数	符号
1234	0	+
1243	1	-
1324	1	-
1342	2	+
⋮\vdots⋮	⋮\vdots⋮	⋮\vdots⋮

①. 我们先取第1行第1列，第2行第2列，第3行第3列，第4行第4列。根据逆序数0为偶数可知符号为正
1×1×0×91\times1\times0\times91×1×0×9
②. 再取第1行第1列，第2行第2列，第3行第4列，第4行第3列。符号我们可以通过数逆序数，也可以通过另一种方法来确定，通过观察我们发现1243和1234对换了3和4的位置。根据上一节学过的定理，对换奇次位置变符号，所以符号为负
1×1×0×9−1×1×5×01\times1\times0\times9-1\times1\times5\times01×1×0×9−1×1×5×0
③. 再取第1行第1列，第2行第3列，第3行第2列，第4行第4列。根据②观察，2和3发生了对换，所以符号为负
1×1×0×9−1×1×5×0−1×0×2×91\times1\times0\times9-1\times1\times5\times0-1\times0\times2\times91×1×0×9−1×1×5×0−1×0×2×9
……根据以上过程即可求出该4阶行列式的值，因为要计算24个元素，所以我们计算也很少通过这种原始定义来算。

例2

∣0200003000041000∣\begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}∣∣0001200003000040∣∣
这种特殊的行列式我们就可以用原始定义来做，通过观察我们发现只有2341这几个元素相乘不为0.列标是2341，逆序数是3。
=(−1)N(2341)2×3×4×1=−24=(-1)^{N(2341)}2\times3\times4\times1=-24=(−1)N(2341)2×3×4×1=−24

四

1.下三角行列式（主对角线）

∣a1100⋯0a21a220⋯0⋮⋮⋮⋱⋮an1an2⋯⋯ann∣\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 &\cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}∣∣a11a21⋮an10a22⋮an200⋮⋯⋯⋯⋱⋯00⋮ann∣∣
第1行除了第1列其他都是0，我们只能去取第1行第1列。第2行，因为取值要取不同行不同列，所以只能取第2行第2列。以此类推，所以最终是a11×a22⋯anna_{11} \times a_{22} \cdots a_{nn}a11×a22⋯ann。列标是12⋯n12\cdots n12⋯n,为标准排列所以逆序数是0。
下三角行列式的值：主对角线元素相乘：a11×a22⋯anna_{11} \times a_{22} \cdots a_{nn}a11×a22⋯ann

2.上三角行列式（主对角线）

∣a11a12a13⋯a1n0a22a23⋯a2n⋮⋮⋮⋱⋮0000ann∣\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} &\cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a_{nn} \end{vmatrix}∣∣a110⋮0a12a22⋮0a13a23⋮0⋯⋯⋱0a1na2n⋮ann∣∣
第1行很多都可以取，第2行除了第1列都可以取，其他的都先放着。我们先取最后一行，除了最后一列，其他都是0。所以我们取anna_{nn}ann。倒数第二行就不能去最后一列了，只能去倒数第二列an−1n−1a_{n-1n-1}an−1n−1，以此类推。最后还是a11×a22⋯anna_{11} \times a_{22} \cdots a_{nn}a11×a22⋯ann。注意，这里我们并不是倒过来取，而是倒过来推论。取值的时候还是要遵循行数为标准排列的顺序来取
上三角行列式的值：主对角线元素相乘：a11×a22⋯anna_{11} \times a_{22} \cdots a_{nn}a11×a22⋯ann

3.对角型行列式（主对角线）

∣a1100⋯00a220⋯0⋮⋮⋮⋱⋮0000ann∣\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a_{nn} \end{vmatrix}∣∣a110⋮00a22⋮000⋮0⋯⋯⋱000⋮ann∣∣
这个不用多说，依然是
对角型行列式的值：主对角线元素相乘：a11×a22⋯anna_{11} \times a_{22} \cdots a_{nn}a11×a22⋯ann

4.下三角行列式（次对角线）

∣000⋯a1n000a2n−1a2n⋮⋮⋮⋱⋮an1an2⋯⋯ann∣\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 &\cdots & a_{1n} \\ 0 & 0 & 0 & a_{2 \ n-1} & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}∣∣00⋮an100⋮an200⋮⋯⋯a2 n−1⋱⋯a1na2n⋮ann∣∣
取值为 a1n×a2n−1⋯an1a_{1n} \times a_{2 \ n-1} \cdots a_{n1}a1n×a2 n−1⋯an1，逆序数为n×(n−1)⋯3×2×1=n×(n−1)2n \times (n-1) \cdots 3 \times 2 \times 1 = \frac{n\times(n-1)}{2}n×(n−1)⋯3×2×1=2n×(n−1)
结果：(−1)n×(n−1)2a1n×a2n−1⋯an1(-1)^{\frac{n\times(n-1)}{2}}a_{1n} \times a_{2 \ n-1} \cdots a_{n1}(−1)2n×(n−1)a1n×a2 n−1⋯an1

5.上三角行列式（次对角线）

∣a11a12⋯⋯a1na21a21⋯a2n−10⋮⋮⋮⋱⋮an10⋯⋯0∣\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &\cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{21} & \cdots & a_{2 \ n-1} & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \end{vmatrix}∣∣a11a21⋮an1a12a21⋮0⋯⋯⋮⋯⋯a2 n−1⋱⋯a1n0⋮0∣∣
同上取值为 a1n×a2n−1⋯an1a_{1n} \times a_{2 \ n-1} \cdots a_{n1}a1n×a2 n−1⋯an1，逆序数为n×(n−1)⋯3×2×1=n×(n−1)2n \times (n-1) \cdots 3 \times 2 \times 1 = \frac{n\times(n-1)}{2}n×(n−1)⋯3×2×1=2n×(n−1)
结果：(−1)n×(n−1)2a1n×a2n−1⋯an1(-1)^{\frac{n\times(n-1)}{2}}a_{1n} \times a_{2 \ n-1} \cdots a_{n1}(−1)2n×(n−1)a1n×a2 n−1⋯an1

6.对角型行列式（次对角线）

∣0⋯⋯⋯a1n00⋯a2n−10⋮⋮⋮⋱⋮an10⋯⋯0∣\begin{vmatrix} 0 & \cdots & \cdots &\cdots & a_{1n} \\ 0 & 0 & \cdots & a_{2 \ n-1} & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \end{vmatrix}∣∣00⋮an1⋯0⋮0⋯⋯⋮⋯⋯a2 n−1⋱⋯a1n0⋮0∣∣
同上取值为 a1n×a2n−1⋯an1a_{1n} \times a_{2 \ n-1} \cdots a_{n1}a1n×a2 n−1⋯an1，逆序数为n×(n−1)⋯3×2×1=n×(n−1)2n \times (n-1) \cdots 3 \times 2 \times 1 = \frac{n\times(n-1)}{2}n×(n−1)⋯3×2×1=2n×(n−1)
结果：(−1)n×(n−1)2a1n×a2n−1⋯an1(-1)^{\frac{n\times(n-1)}{2}}a_{1n} \times a_{2 \ n-1} \cdots a_{n1}(−1)2n×(n−1)a1n×a2 n−1⋯an1

五、n阶行列式的按列展开

定义：列标取标准排列，行标去所有排列可能，不同行不同列取n个元素相乘，符号由行标排列的逆序数的奇偶性决定
∑i1i2⋯in(−1)N(i1i2…in)ai11ai22⋯ainn\sum\limits_{i_{1}i_{2} \cdots i_{n}}{(-1)^{N(i_{1}i_{2} \dots i_{n})}}a_{i_{1}1}a_{i_{2}2}\cdots a_{i_{n}n}i1i2⋯in∑(−1)N(i1i2…in)ai11ai22⋯ainn

6、n阶行列式既不按行也不按列展开

这种很少用到，考试也只会考行列式的符号
∑(−1)N(i1i2…in)+N(j1j2…jn)ai1j1ai2j2⋯ainjn\sum\limits{(-1)^{N(i_{1}i_{2} \dots i_{n})+N(j_{1}j_{2} \dots j_{n})}}a_{i_{1}j_{1}}a_{i_{2}j_{2}}\cdots a_{i_{n}j_{n}}∑(−1)N(i1i2…in)+N(j1j2…jn)ai1j1ai2j2⋯ainjn

总结

二阶行列式和三阶行列式可以通过画线来解
n阶行列式有可以通过3种定义来解，分别是：按行展开、按列展开、既不按行也不按列展开

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