2020 4.4

题目:编写Gauss求积法计算积分的程序（Gauss点数取1,2,3,4,5即可）并用于计算积分

∫01sin⁡xxdx\int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} d x ∫01xsinxdx

部分高斯-勒让德求积公式的结点和求积系数:

nxkAknxkAk0023±0.86113631160.34785484511±0.57735026921±0.33998104360.65214515492±0.77459666920.55555555554±0.90617984590.236926885100.8888888888±0.53846931010.478628670500.568888889\begin{array}{ccc||ccc} \hline n & x_{k} & A_{k} & n & x_{k} & A_{k} \\ \hline 0 & 0 & 2 & 3 & \pm 0.8611363116 & 0.3478548451 \\ 1 & \pm 0.5773502692 & 1 & &\pm 0.3399810436 & 0.6521451549 \\ 2 & \pm 0.7745966692 & 0.5555555555 & 4 & \pm 0.9061798459 & 0.2369268851 \\ & 0 & 0.8888888888 & & \pm 0.5384693101 & 0.4786286705 \\ & & & &0& 0.568888889 \\ \hline \end{array} n012xk0±0.5773502692±0.77459666920Ak210.55555555550.8888888888n34xk±0.8611363116±0.3399810436±0.9061798459±0.53846931010Ak0.34785484510.65214515490.23692688510.47862867050.568888889

区间变换与函数变换:

区间[a,b]->[-1,1]:
x=12(a+b)+12(b−a)tx=\frac{1}{2}(a+b)+\frac{1}{2}(b-a) t x=21(a+b)+21(b−a)t

函数变换:
∫abf(x)dx=b−a2∫−11f[12(a+b)+12(b−a)t]dt\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{b-a}{2} \int_{-1}^{1} f\left[\frac{1}{2}(a+b)+\frac{1}{2}(b-a) t\right] \mathrm{d} t ∫abf(x)dx=2b−a∫−11f[21(a+b)+21(b−a)t]dt

具体实现

function [f1,I] = GaussInt(f,a,b,n)
%该函数利用Gauss-Lagendre求积公式计算积分
%依次输入函数,左右区间端点,和结点个数进行计算高斯积分
syms t
f1=subs(f,symvar(f),(b+a)/2+(b-a)*t/2)*(b-a)/2;
switch n %分别代表不同结点个数时的Gauss积分case 1I=eval(2*subs(f1,symvar(f1),0));case 2I=eval(subs(f1,symvar(f1),0.5773503))+...eval(subs(f1,symvar(f1),-0.5773503));case 3I=0.5555555555*eval(subs(f1,symvar(f1),0.7745966692))+...0.5555555555*eval(subs(f1,symvar(f1),-0.7745966692))+...0.8888888888*eval(subs(f1,symvar(f1),0));case 4I=0.3478548451*eval(subs(f1,symvar(f1),0.8611363116))+...0.3478548451*eval(subs(f1,symvar(f1),-0.8611363116))+...0.6521451549*eval(subs(f1,symvar(f1),0.3399810436))+...0.6521451549*eval(subs(f1,symvar(f1),-0.3399810436));case 5I=0.2369268851*eval(subs(f1,symvar(f1),0.9061798459))+...0.2369268851*eval(subs(f1,symvar(f1),-0.9061798459))+...0.4786286705*eval(subs(f1,symvar(f1),0.5384693101))+...0.4786286705*eval(subs(f1,symvar(f1),-0.5384693101))+...0.568888889*eval(subs(f1,symvar(f1),0));
end

踩坑日志

错误:

>> [F,I]=GaussInt(sin(x)/x, 0, 1,1)
数组索引必须为正整数或逻辑值。出错 sym/subsref (line 870)R_tilde = builtin('subsref',L_tilde,Idx);

原因:

I=2*f1(0);

应该f1是一个符号表达式而不是一个函数

错误:

>> [F,I]=GaussInt(sin(x)/x, 0, 1,1)
未定义函数或变量 'x'。出错 GaussInt (line 5)
f1=subs(f,x,(b-a)/2+(b-a)*t/2)*(b-a)/2;

原因:

syms x

所编写的函数中没有定义变量x

改进:

f1=subs(f,symvar(f),(b-a)/2+(b-a)*t/2)*(b-a)/2;

这样可以不用声明变量

学到的matlab语法

matlab代码注释

快速:

Ctrl +t

Ctrl+ r

switch多分支结构

switch n %分别代表不同结点个数时的Gauss积分case 1I=eval(2*subs(f1,symvar(f1),0));case 2I=eval(subs(f1,symvar(f1),0.5773503))+...eval(subs(f1,symvar(f1),-0.5773503));case 3I=0.5555555555*eval(subs(f1,symvar(f1),0.7745966692))+...0.5555555555*eval(subs(f1,symvar(f1),-0.7745966692))+...0.8888888888*eval(subs(f1,symvar(f1),0));case 4I=0.3478548451*eval(subs(f1,symvar(f1),0.8611363116))+...0.3478548451*eval(subs(f1,symvar(f1),-0.8611363116))+...0.6521451549*eval(subs(f1,symvar(f1),0.3399810436))+...0.6521451549*eval(subs(f1,symvar(f1),-0.3399810436));case 5I=0.2369268851*eval(subs(f1,symvar(f1),0.9061798459))+...0.2369268851*eval(subs(f1,symvar(f1),-0.9061798459))+...0.4786286705*eval(subs(f1,symvar(f1),0.5384693101))+...0.4786286705*eval(subs(f1,symvar(f1),-0.5384693101))+...0.568888889*eval(subs(f1,symvar(f1),0));otherwisedisp("结点数为1-5")
end

matlab函数的编写

在MATLAB中，函数定义在单独的文件。文件函数的文件名应该是相同的。

函数可以接受多个输入参数和可能返回多个输出参数。

函数语句的语法是：

function [out1,out2, ..., outN] = myfun(in1,in2,in3, ..., inN)

例:

建立函数文件，命名为 mymax.m并输入下面的代码：

function max = mymax(n1, n2, n3, n4, n5)
%This function calculates the maximum of the
% five numbers given as input
max =  n1;
if(n2 > max)max = n2;
end
if(n3 > max)max = n3;
end
if(n4 > max)max = n4;
end
if(n5 > max)max = n5;
end

每个函数的第一行要以 function 关键字开始。它给出了函数的名称和参数的顺序。

在我们的例子中，mymax 函数有5个输入参数和一个输出参数。

注释行语句的功能后提供的帮助文本。这些线条打印，当输入：

help mymax

MATLAB执行上述语句，返回以下结果：

This function calculates the maximum of thefive numbers given as input

可以调用该函数：

mymax(34, 78, 89, 23, 11)

MATLAB执行上述语句，返回以下结果：

ans =89

注:如果要输出多个返回值:

>> [F,I]=GaussInt(sin(x)/x, 0, 1,2)F =sin(t/2 + 1/2)/(2*(t/2 + 1/2))I =0.946041135536224

一种matlab的数据类型能够存储变长的一维向量:

刚开始想把结点和系数存储起来用循环进行对应的遍历

A=[1,2,3,4];
B=[5];
C=[6,7];
p={A,B,C}
以下运行结果：
>> p{1}(1,2)
ans =
2

元胞数组

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