一文搞懂考研数列极限问题(概念/计算/证明)史上最强/最全总结

不管本科高数还是考研数学，数列极限问题，看这一篇文章管够，看完还不会做你来找我！

数列极限，是数列和极限两个充满不确定性的概念相混合，容易让人产生摸不着头脑，看到题目就害怕的感觉，本篇文章就按以下目录对这块儿重难点拨云见日，内容循序渐进，越往后越精彩，大家可以自行感受一下！

01 什么是数列
02 数列的极限
03 数列极限的计算(三种类型)
04数列相关证明题(两种类型)

01 什么是数列？(掌握难度：★)

从字面意思就可以看出来：数列数列，就是将数排成队列。详细点来说，就是将一堆数按照某种规律排成一排，p.s.类似军训，教官让我们按照从矮到高(某种规律)排成一排。

这时，有个数在开小差，教官就开始点名了。还记得我们当时军训时教官是怎么点名的么?

“第m排第n列,请出列”——这耳熟能详的语句。

由于我们的数只有一列，所以我们就变成了，“第n个数请出列”。为了描述方便我们用符号 xnx_{n}xn 表示，含义为第n个数，于是就有 x1=12，x4=116，x5=132x_{1}=\frac{1}{2} ， x_{4}=\frac{1}{16} ， x_{5}=\frac{1}{32}x1=21，x4=161，x5=321。如果可以用某个含n的式子来表示 xnx_{n}xn ，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，例如本文举例的数列，它的通项公式就是： xn=12nx_{n}=\frac{1}{2^{n}}xn=2n1 。有了它，我们就可以快速get这一列数中的每一个数，是不是很方便。

但是，人总是贪心的。所以一定会有人问：“你不是说每一项你都知道么？那么第无穷项是多少呢？”这个时候就涉及到了数列的极限。

02 数列的极限(掌握难度：★★)

针对刚刚的问题——数列{ xnx_{n}xn }的“无穷项”是多少？即当 n→∞n\rightarrow\inftyn→∞ 时， xnx_{n}xn 趋近于多少。可见这是一个极限问题，用数学式来表示：

lim⁡n→∞xn=?\lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}=?limn→∞xn=?

上式的结果，有些是可预测的（可计算出结果），有些是不可预测的（结果不确定），如下：

例如：
（1） (−1)n：−1,1,−1,1,−1,1……{ (-1)^{n} }： -1,1,-1,1,-1,1……(−1)n：−1,1,−1,1,−1,1……

（2） ln(n):ln1,ln2,ln3，……{ { ln(n) } } : ln1,ln2,ln3，……ln(n):ln1,ln2,ln3，……

（3） 12n：12，14，18，116……{\frac{1}{2^{n}} } ： \frac{1}{2}，\frac{1}{4}，\frac{1}{8}，\frac{1}{16}……2n1：21，41，81，161……

数列(1)，在-1和1间摇摆不定，"第无穷项"鬼知道是1还是-1，因此极限不存在；

数列(2)，随n增大， xnx_{n}xn 也无限制地增大，增大到无穷时，无法用一个具体的数来表示，其极限也不存在。对于数列(1)和(2)，我们称其为发散数列，或称这个数列是发散的。

数列(3)，随n增大，每一项的分母都会无限制的增大，进而每一项会越来越小，最终 n→∞,xn→0(1∞)n\rightarrow \infty ,x_{n}\rightarrow0(\frac{1}{\infty})n→∞,xn→0(∞1) ，所以此时我们可以预测在“第无穷项”处，数列的值趋近于0，这个时候我们也称数列（3）收敛。

所以可知，当 lim⁡n→∞xn=A\lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}=Alimn→∞xn=A 的时候，数列的“第无穷项”我们是可以预测出来的，此时这个数列 {xn}\left\{ x_{n} \right\}{xn} 也是收敛的。最终得到下面的关系：

{xn}收敛↔lim⁡n→∞xn存在↔lim⁡n→∞xn=A\left\{ x_{n} \right\}收敛\leftrightarrow\lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}存在\leftrightarrow\lim_{n\rightarrow \infty}{x_{n}}=A{xn}收敛↔limn→∞xn存在↔limn→∞xn=A

极限趋近的数学表达式： n→∞，xn→An\rightarrow \infty， x_{n}\rightarrow An→∞，xn→A ，用大白话讲就是：当n趋近无穷大时， xnx_{n}xn 与A的距离越来越近。而衡量两个数的距离远近，用绝对值来表示，就是 ∣xn−A∣\left| x_{n}-A \right|∣xn−A∣ 。所以该语句套上数学的外衣就是 n→∞n\rightarrow\inftyn→∞，∣xn−A∣→0\left| x_{n}-A \right|\rightarrow0∣xn−A∣→0 ，当然这句话也可以换一种说法，既然 ∣xn−A∣→0\left| x_{n}-A \right|\rightarrow0∣xn−A∣→0 那么也就是说 ∣xn−A∣\left| x_{n}-A \right|∣xn−A∣ 要多小有多小，即它比所有的正数都小，这就引出了很多教材常见的写法：

设{ xnx_nxn }为实数数列，A 为定数，若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有∣xn−A∣<ε∣{ x_n }-A∣<ε∣xn−A∣<ε 则称数列{ xnx_nxn }收敛于A，定数A称为数列{ xnx_nxn }的极限。

讲完了定义，接下来讲一下数列极限的计算。(对于考研的同学来说，这块是难点内容)。

03 数列极限的计算(掌握难度：★★★★)：

类型一：求 lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}limn→∞xn ，其中xnx_{n}xn 已知，且只含有限个式子。
解法技巧：

a.利用极限相关知识直接计算

(有时会运用到不等式放缩、夹逼定理。p.s. 通常它们两者是同时运用的)
相关例题：

b.令n=x或1/x，从而将离散的数列转变成连续可导的函数来做。函数有着优良的处理手段，微分中值定理、洛必达，等价无穷小、泰勒展开等。进而使问题得到解决。

相关例题:

可见本题利用换元，将离散的数列变成一个具有优良性质的函数，进而利用函数的极限知识来求解数列极限，即实现了由陌生到熟悉的过程，最终解决问题！

c.利用级数相关知识求极限(如果级数 ∑n=1∞xn收敛，那么lim⁡n→∞xn=0\sum_{n=1}^{\infty}{x_{n}} 收敛，那么 \lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}=0∑n=1∞xn收敛，那么limn→∞xn=0 )（数学1和数学3）

相关例题:

类型二：无穷多项和的极限
解题技巧：

a.利用高中知识求解

有可能会用到的高中知识：

(1)若 an+1−an=da_{n+1}-a_{n}=dan+1−an=d(d为公差)，则{ ana_{n}an }为等差数列

1+2+3+4……+n=n(n+1)21+2+3+4……+n=\frac{n(n+1)}{2}1+2+3+4……+n=2n(n+1) （等差数列前n项和）

(2)若 bn+1bn=q\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=qbnbn+1=q (q为公比)，则 {b_{n}} 为等比数列

a+aq+aq2+……+aqn=a(1−qn+1)1−qa+aq+aq^{2}+……+aq^{n}=\frac{a(1-q^{n+1})}{1-q}a+aq+aq2+……+aqn=1−qa(1−qn+1) （等比数列前n+1项和）

（3）等差*等比求n项和时运用错位相减：{ ana_{n}an }为等差数列；{ bnb_{n}bn }为等比数列，求SnS_{n}Sn

Sn=a1b1+a2b2+a3b3+……+anbnS_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+……+a_{n}b_{n}Sn=a1b1+a2b2+a3b3+……+anbn

qSn=a1b2+a2b3+a3b4+……+an−1bn+anbn+1qS_{n}= a_{1}b_{2}+a_{2}b_{3}+a_{3}b_{4}+……+a_{n-1}b_{n}+a_{n}b_{n+1}qSn=a1b2+a2b3+a3b4+……+an−1bn+anbn+1

作差后：
(1−q)Sn=a1b1+(a2−a1)b2+(a3−a2)b3+……+(an−an−1)bn−anbn+1(1-q)S_{n}=a_{1}b_{1}+(a_{2}-a_{1})b_{2}+(a_{3}-a_{2})b_{3}+……+(a_{n}-a_{n-1})b_{n}-a_{n}b_{n+1}(1−q)Sn=a1b1+(a2−a1)b2+(a3−a2)b3+……+(an−an−1)bn−anbn+1

(1−q)Sn=a1b1+d∗b2+d∗b3+……+d∗bn−anbn+1(1-q)S_{n}=a_{1}b_{1}+d*b_{2}+d*b_{3}+……+d*b_{n}-a_{n}b_{n+1}(1−q)Sn=a1b1+d∗b2+d∗b3+……+d∗bn−anbn+1 (b为公差）

Sn=1(1−q)(a1b1+d∗∑k=2nbk−anbn+1)S_{n}=\frac{1}{(1-q)}(a_{1}b_{1}+d*\sum_{k=2}^{n}{b_{k}}-a_{n}b_{n+1})Sn=(1−q)1(a1b1+d∗∑k=2nbk−anbn+1)

(4)裂项相消

相关例题:

解数列极限所用到的高中知识点，常见的也就是如上4条（等差数列求和、等比数列求和、错位相减、裂项相消），掌握好即可！！！

b.不等式放缩+夹逼定理(两者好似如胶似漆的情人，往往成对出现)

相关例题:

这种类型往往放缩是一个难点，那么如何放缩呢？这就需要平时多做题多总结。比如左边例十三这种n项分式相加的题目，往往考虑到放缩分母至相同，因为这样可以简化式子。那么是什么条件能够告诉你确实可以这样做呢？那就是题目中所说的：最大分母和最小分母是等价无穷大；又如右边例十四，将每一项都放大为1，得到一个式子；同时把小于1的每一项都缩小为0，又得到一个式子，为什么要这么做呢，因为我知道任何正数开无穷次方都为1，所以就想到这样放缩，最后夹逼到1，因此做这种类型的题目，平时一定要多总结！！！

c.定积分定义(离散与连续的转化思想) p.s. 有难度的题会协同放缩、夹逼定理一起为难你。

这种类型题目就是把所求的目标极限转化为标准的定积分的定义式，然后将此数列转化为定积分来做，即可得到解决。这里先回顾一下定积分的定义：

如上图所示，如果想要求a、b两点之间曲线和x轴之间的面积S，我们会怎么做呢（假如我们还不知道定积分这个东西），是不是想要找熟悉的形状去进行一个估计呢，这确实是一个好办法，事实上，很多数学家都是这样做的：用若干个等宽的矩形去填充这个区域。如图所示，当只用6个等宽矩形去填充这个区域时，此时这些矩形的总面积为S阴(表达式在图下)，结合图可以知道此时用S阴去代替所求的面积S误差会很大，但是随着这个矩形宽度减少到 b−a27\frac{b-a}{27}27b−a ，即用27个等宽矩形去填充这个区域，可以发现误差基本已经很小了。直到当矩形的宽度很小时，等宽矩形的数目趋近于无穷时，他们的面积可以认为是相等的，此时可用这个极限去估计这个所求区域的面积S了。而这个表达式即是定积分的定义式，如下所示：

lim⁡n→∞b−an∑i=1nf(a+(b−a)in)=∫abf(x)dx\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{b-a}{n}}\sum_{i=1}^{n}f(a+\frac{(b-a)i}{n})=\int_{a}^{b}f(x)dxlimn→∞nb−a∑i=1nf(a+n(b−a)i)=∫abf(x)dx

可见左边是一个数列的极限，而右边是定积分。定积分的计算我们比较熟悉了，所以这个式子即可把抽象的数列极限转变为定积分，用积分来解出值。所以遇到此类题的时候，要想方设法将所求的极限变成定积分定义式的表达形式，进而求解。

注：一般来说，所遇到的此类题大都是b=1，a=0。即为：

lim⁡n→∞1n∑i=1nf(in)=∫01f(x)dx\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{1}{n}}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})=\int_{0}^{1}f(x)dxlimn→∞n1∑i=1nf(ni)=∫01f(x)dx

相关例题：

可见，有时候定积分定义可以和不等式放缩一起来考察，即把一个式子放缩至两个定积分定义，且两个定积分值相等，再用夹逼准则即可。

d.利用级数求和来解决（数学1和数学3）

即是将无穷项数列极限 ⇒\Rightarrow⇒ 幂级数⇒\Rightarrow⇒ 和函数 ⇒\Rightarrow⇒ 代值得到结果

相关例题：

总结一下，就是首先将（Δ）f(n)（\Delta）^{f(n)}（Δ）f(n) 里面的数(Δ)( \Delta )(Δ)变成x，然后转化成幂级数。下一步就是通过提取，求导，积分等手法将该幂级数往已知和函数的幂级数进行一个转化，进而求出该幂级数的和函数，最终代入对应的值即可！！！

类型三：已知 xn+1、xn、xn−1x_{n+1}、x_{n}、x_{n-1}xn+1、xn、xn−1 三项之间的线性关系，求极限值(有兴趣了解下)

解题技巧：

利用线性代数知识(对角化的其中一个运用)

若数列的递推公式形如 xn=axn−1+bxn−2x_{n}=ax_{n-1}+bx_{n-2}xn=axn−1+bxn−2 且 x0，x1x_{0}，x_{1}x0，x1
已知，（a，b为常数且a，b不等于0，n=2,3……）则有如下过程：

这块可以认为是线性代数的一个运用，即利用相似对角化解决矩阵A的n次方问题。从而求出对应的xn和xn+1x_n和x_{n+1}xn和xn+1 。

相关例题：

04 数列相关证明题(掌握难度：★★★★★)：

即证明 {xn}\left\{ x_{n} \right\}{xn} 收敛 ⇔\Leftrightarrow⇔证明 lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}limn→∞xn 存在

类型一：知道递推关系证明收敛（形如 xn+1=f(xn)x_{n+1}=f(x_{n})xn+1=f(xn) ）

这种类型大致分为以下两种思路：一个就是逐渐增加（或减少）但是有界限，进而逐渐趋近于所求的极限；另一种就是类似于振荡的趋近于某个极限。两种类型的示意图如下所示：

那么如何快速判定你所求数列的极限是哪一种形式呢？这里即也要从函数角度来思考。

首先这种类型的题目我们是知道递推式：xn+1=f(xn)x_{n+1}=f(x_{n})xn+1=f(xn)，故我们研究一下f(x)。

先说结论吧：

a.若f(x)是单调递增，那么数列 {xn}\left\{ x_{n} \right\}{xn} 单调。

证明：假设 x1＞x2x_{1}＞x_{2}x1＞x2 ，则带入函数中， f(x1)＞f(x2)⇒x2＞x3⇒...⇒xn＞xn+1f(x_{1})＞f(x_{2})\Rightarrow x_{2}＞x_{3}\Rightarrow...\Rightarrow x_{n}＞x_{n+1}f(x1)＞f(x2)⇒x2＞x3⇒...⇒xn＞xn+1 即 {xn}\left\{ x_{n} \right\}{xn} 为递减数列

同理：当 x1＜x2x_{1}＜x_{2}x1＜x2 时，能推出即 {xn}\left\{ x_{n} \right\}{xn} 为递增数列

b.若f(x)是单调递减，那么数列{xn}\left\{ x_{n} \right\}{xn}为振荡数列。

证明：假设 x1＞x2x_{1}＞x_{2}x1＞x2，则带入函数中，

f(x1)＜f(x2)⇒x2＜x3⇒x3＞x4⇒x4＜x5...f(x_{1})＜f(x_{2})\Rightarrow x_{2}＜x_{3}\Rightarrow x_{3}＞x_{4}\Rightarrow x_{4}＜x_{5} ...f(x1)＜f(x2)⇒x2＜x3⇒x3＞x4⇒x4＜x5...
可推知其为振荡数列。

c.若f(x)不单调，但 xnx_{n}xn 在其单调增区间内，那么依然有{xn}\left\{ x_{n} \right\}{xn}单调。

证明过程和a类似，这里就不再证明啦！！

所以既有如下图所示的证明流程思路：

接着就可以用以上的流程开始做题了，具体题目如下所示哈：

相关例题：

上面两题即是常见单调数列证明收敛的手法，即单调有界法！！说白了就是证明两点：1.单调；2.有界。

注：也可以通过证明数列单调递增有上界或者单调递减有下界，同样能证明出数列收敛。

下面来看下振荡数列如何证明其收敛

上面两题即是当数列不单调时证明其收敛的手法。其难点在于第二步，如何找到对应的A和B。其中，A是数列最终收敛于的数，因此这里我们先假定xnx_{n}xn收敛，有lim⁡n→∞xn=A\lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}=Alimn→∞xn=A ，这样就可以将 xn+1=f(xn)x_{n+1}=f(x_{n})xn+1=f(xn) 左右取极限，即 n→∞，xn+1=f(xn)⇒A=f(A)n\rightarrow\infty， x_{n+1}=f(x_{n})\Rightarrow A=f(A)n→∞，xn+1=f(xn)⇒A=f(A) 便可以解出A的值。接着我们构造 ∣xn+1−A∣\left| x_{n+1}-A \right|∣xn+1−A∣ ，并将 xn+1=f(xn)x_{n+1}=f(x_{n})xn+1=f(xn) 带入，之后有：∣f(xn)−A∣\left| f(x_{n})-A \right|∣f(xn)−A∣ ，此时想办法往 B×∣xn−A∣B\times\left| x_{n}-A \right|B×∣xn−A∣ 去变化，如果变化出来的式子小于B小于1，那么就有递推式： ∣xn+1−A∣<B∣xn−A∣<B2∣xn−A∣...<Bn∣x1−A∣\left| x_{n+1}-A \right|<B\left| x_{n}-A \right|<B^{2}\left| x_{n}-A \right|...<B^{n}\left| x_{1}-A \right|∣xn+1−A∣<B∣xn−A∣<B2∣xn−A∣...<Bn∣x1−A∣

且当 n→∞n\rightarrow \inftyn→∞时：Bn=0B^{n}=0Bn=0 ，这样的话： ∣xn−A∣=0\left| x_{n}-A \right|=0∣xn−A∣=0 ，即 xn=Ax_{n}=Axn=A

那么B如何求呢？一般是通过将所构造的 ∣f(xn)−A∣\left|f(x_{n})-A \right|∣f(xn)−A∣ 通分，提取等方法化简出来xnx_nxn，然后将xnx_nxn前面的一连串东西提取到绝对值外面，即 ▢∣xn−Δ∣▢\left| x_{n}-\Delta\right|▢∣xn−Δ∣ ，然后通过放缩来确定▢是小于1，此时取它们之间的一个常数为B，而 Δ\DeltaΔ 在绝对值中进行变形转变为A，此时这个式子就构造完毕，接着就可以证明了！！！

类型二：求不出形如 xn+1=f(xn)x_{n+1}=f(x_{n})xn+1=f(xn) 这样的递推式

这种求不出来递推式的数列极限，相对较难求，此时无法用上述类型一的两种套路方法。

此时需要根据具体表达式具体来做。大致步骤分为两步：1.列出含有xnx_nxn的相应表达式；2.利用这个表达式求解。

相关题目：

从上面两题可以看出，利用表达式求解即一般就是找到 {xn}\left\{ x_{n} \right\}{xn} 的单调性、有界性，继而用单调有界做；或者利用极限知识直接求解出值。

本文通俗详细的讲解了数列极限的相关问题，如果哪里有问题，或者不明白欢迎在评论区留言。

到此结束~
我是煜神学长，考研我们一起加油！！！

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