高等数学：第一章 函数与极限（2）数列极限
§1.3 数列极限
一、数列极限
1、数列概念
若按某一法则，对任意自然数 
有一个确定的数
与之对应，那么，这列有序数
称之为数列，且第 项称之为该数列的一般项。
用函数的观点来看，数列可看作自变量为正整数的函数：
在几何上，数列是数轴上的一个动点。
2、数列极限的
语言
【例1】讨论数列 
的极限。
数列一般项为 
，观察易知
当 n 愈来愈大，
的值愈来愈接近于0，的值愈来愈接近于1。因此，我们可以讲，数列的极限为 1 。
上面的讨论，很大程度上依赖于观察，诸如“愈来愈大”，“愈来愈接近”这类语言也显得含糊不清，因此，我们有必要弄精楚极限的准确数学含义。
在数学上，两个数
与
之间的接近程度可以用
来度量，越小，
与
就越接近。与1 的接近程度为 
。
所谓 “当 n 愈来愈大时，的值愈来愈接近于 1”，意指
当 n 取得足够大时，
可以小于任意给定的正数
。
如:给定
，只要 
，那么数列从第101项起后的一切项
均使不等式 
成立。
如:给定
，只要 
，那么数列从第1001项起后的一切项
均使不等式 
成立。
一般地
对于任意给定的充分小正数，总可找到一个正整数
，使得对于的一切
时的，不等式
总成立。
这就是数列极限的精确数学含义！由此，我们给出数列极限的一般定义：
给定数列，若对于任意给定的正数（无论多么小），总存在一个正整数，当时，不等式
总成立，则称常数
是数列的极限，或称收敛于。记作
或
（当
时）
如果数列无极限，则称数列发散。
在这一定义中，数值
是核心，通常也称此定义为
语言，用以下符号来加以简述。
,
, 当 
时，总有
成立，则称数列
以为极限，记作
。
对极限的精确语言我们给出几点注解:
(1)、正数
是任意给定的，因为只有这样不等式
才能表达与愈来愈接近的含义，但一经给定就不变了。
(2)、正整数 N 与有关的，一般地讲，越小就越大。但通常 N 的选取不唯一，只要找一个就行了。
(3)、数列极限具有非常明显的几何特征
,, 当 时，有
这表明：数列有无限多项 
落入区间
内，至多只有有限项
(至多 N 项)在此区间之外。
这种现象可以用下图来进行直观解释：
数列有无穷多项凝聚在点的邻域内，点象一个吸力非常大的黑洞，在它的附近吸引了数列中的无穷多项。
(4)、语言只能用来判定数列是否以极限，而不能用它来求数列的极限。
3、用
语言证明数列极限举例
【例2】试证明极限
解：
，欲使
只需
，因此可取
，当时，有不等式
成立，故 。
【例3】设
，试证明等比数列
的极限为0。
解：，欲使
只需
，即 
( 注意到：
)
因此可取
，当时，有不等式
成立，故 
。
【例4】设
，试证明它的极限为0。
二、收敛数列的两个性质
【定理一】(极限的唯一性) 数列 
不能收敛于两个不同的极限。
这一定理所陈述的事实显然。据数列极限的几何意义，收敛的数列不可能有两个凝聚点。
【定理二】(收敛数列的有界性) 设数列收敛，则数列一定有界。
若数列
收敛于
，则它的各项 
在数轴上的分布如下图所示
很明显， 数列是有界的。
定理二表明：收敛的数列一定是有界的，那么，有界的数列是否一定收敛呢?
请看一个著名的反例 
几何上，该数列取值只是-1、+1两点，显然，它们不可能有什么唯一的凝聚点，但它们却是有界的。这表明：有界数列不一定收敛。
转自：
https://sxyd.sdut.edu.cn/_upload/tpl/02/32/562/template562/onlineLearning/gaodengshuxueshang/index.htm
高等数学：第一章 函数与极限（2）数列极限相关推荐
- 李永乐复习全书高等数学 第一章 函数、极限、连续
1.2 极限 例4 设f(x)f(x)f(x)在x=0x=0x=0的某邻域内连续,f(0)≠0f(0)\ne0f(0)=0,则limx→0∫0x(x−t)f(t)dtx∫0xf(x−t)dt ...
- 张宇1000题高等数学 第一章 函数极限与连续
目录 AAA组 15.求极限limx→0sinx+x2sin1x(2+x2)ln(1+x)\lim\limits_{x\to0}\cfrac{\sin x+x^2\sin\cfrac{1}{x ...
- 24考研|高等数学的基础概念定理（一）——第一章|函数、极限、连续
今天考试,考定理,我是真没想到这些定理,脑袋瓜子嗡嗡的,害,废话少说,直接开干 文章目录 一.基础概念定理 1.1 收敛数列的性质(唯一性.有界性.保号性.数列与子列关系) 1.2 函数极限的性质(有 ...
- 专升本高数第一章试题_专升本高数——第一章 函数极限与连续性
专升本高数--第一章 函数极限与连续性 专升本高数--第一章 函数,极限与连续性 参考相关公式请进入:专升本高数--常用公式总结大全[补充扩展] https://blog.csdn.net/liu17 ...
- javascript进阶课程--第一章--函数
javascript进阶课程--第一章--函数 学习要点 了解内存管理 掌握全局函数的使用 知识点 基本类型和引用类型 基本类型值有:undefined,NUll,Boolean,Number和Str ...
- 第一章第六题（数列求和）(Summation of a series)
第一章第六题(数列求和)(Summation of a series) 1.6(数列求和)编写程序,显示1+2+3+4+5+6+7+8+9的结果. 1.6 (Summation of a series ...
- 函数极限与数列极限桥梁：Heine定理
函数极限与数列极限桥梁:Heine定理 先考虑数列极限与函数极限的ε−N\varepsilon-Nε−N定义: 数列极限:对于数列{an}\{a_n\}{an}与实数aaa,如果∀ε>0,∃N ...
- 【考研数学】高等数学知识点整理——第一章 函数、极限、连续
1 函数 1.1 函数的定义 设 xxx 和 yyy 是两个变量,DDD 是一个给定的数集,如果对于每个数 x∈Dx∈Dx∈D,变量 xxx 按照一定的法则总有一个确定的数值 yyy 与之对应,则 ...
- 高等数学：第一章 函数与极限（5） 极限运算法则
§1.6 极限运算法则 极限语言只能证明极限,不能求极限.对于简单函数的极限问题,可以先用观察法看出其极限,再用极限语言加以证明,但对于一些形式复杂的函数,就不太容易观察出它的极限. 因此,研究函数 ...
最新文章
- php symfony 安装,Symfony的安装和配置方法
- 网站服务器宕机,B站服务器宕机 股价短线走低冲上热搜 官方回复称因机房故障...
- 删除文件夹下所有的文件_Mac 删除文件/文件夹方法和快捷键
- C#程序代码行号设置
- mysql导出入数据库报错_mysql数据库导出导入数据库的搜索结果-阿里云开发者社区...
- CodeForces - 1521D Nastia Plays with a Tree(树上最小路径覆盖)
- oracle 查询时间跨度一年,关于时间跨度比较的OVERLAPS函数
- SQL Server 查询表备注信息的语句
- 【渝粤教育】电大中专混凝土结构作业 题库
- MATLAB入门学习（三）
- K8S - 为 Docker 而生
- 国产数据库年终大盘点！
- 华为手机如何升级鸿蒙系统_华为鸿蒙2.0带来好消息 2021年部分华为手机能升级到鸿蒙2.0...
- python利用函数求20的阶乘_请运用reduce函数，计算20的阶乘，慕课网2-19
- 文献挖掘：SATI文献题录信息统计分析工具初试
- 计算机网络中sep是什么意思,SEP系统介绍及实施方案介绍.ppt
- 2、【易混淆概念集】-前三章 2 净现值 NPV 内部报酬率 IRR 投资回报率 ROI
- 数据库的ACID是什么
- configure: error: Package requirements (libwebp) were not met:
- 怎么做接口自动化的？