洛谷 [P1593 因子和] {快速幂+费马小定理求逆元+求解质因子} 奋斗的珂珂~

题目描述

输入两个整数 a 和 b，求 aba^bab 的因子和。

由于结果太大，只要输出它对 9901 取模的结果。

输入格式

仅一行，为两个整数 a和 b。

输出格式

输出一行一个整数表示答案对 9901 取模的结果。

输入输出样例

输入 #1复制
2 3
输出 #1复制
15

说明/提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 1≤a≤5×10710^7107，1≤b≤5×10710^7107 。

解题思路

1、{分解质因子}
首先，看到题目要求的数据，就已经确定是无法使用暴力的，那么根据以往的经验，我们就要求解整数a的质因子，并求解出每个质因子的个数，然后再让该质因子的个数乘以b就是对于aba^bab这个数中分解出来的每一个质因子的个数。

eg:
414^141中质因子2的个数就是2*1=2个
424^242中质因子2的个数就是2∗22*22∗2=4个
434^343中质因子2的个数就是2∗32*32∗3=6个
…
(本题使用数组进行存储即可)

2、{等比数列求和}
然后我们对求解出的质因子进行分析，不难发现，假设当前质因数为m，质因数的个数为n，那么mnm^nmn,肯定aba^bab的一个因子而且是以m为底数的最大因子。

eg:
16能分解的因子分别是：1，2，4，8，16.
由上述思路1可知16的质因子的个数是4，也就是我们以2为底数最大的该数的因子就是242^424=16,与此同时，我们可以发现16的因子和就等于=1+212^121+222^222+232^323+242^424。

也就是说对于aba^bab可以分解的质因数，这个数因子和的一部分就等于m从0到n次幂的和。

综上所述，我们求解该数的因子和就等于（借图一用，感谢！）

这里的pi就相当于可以拆解的质因子，ci就代表该数可以分解得到的当前之因子的个数。

看到这里，结合高中的知识，就将问题转化为等比数列求和。
等比数列求和公式：

在本题中a1均为1，q代表质因子的值，n代表每一个质因子的个数。

将相关数据代入 q=m(质因子的值)，n(等比数列的项数）=n(质因子的个数)+1。进而推出：

看到上面的pici+1pi^{ci+1}pici+1我们就会想到快速幂，直接套用模板就可以。

3、{费马小定理求逆元}
最后，我们看题中所给的条件，题目中让我们对结果数对9901进行取余，为什么要对这么特别的数字进行取余呢？可以发现9901是一个素数，再观察上面等比数列求和的公式，发现我们还有 /(pi-1）没有进行处理，这时就要想到求逆元。

也就是说除以一个数，换做乘以这个数的倒数的结果是不变的，再根据费马小定理的公式有：

带入公式求解快速幂即可。

注意

1、首先，为了防止取模的时候是负数，可以先将其+mod再进行取模。

2、为什么求解等比数列求和的每一次求解第一项都是1而不是m(m代表当前质因子)?
这也是我最初没有想明白的地方。后来找到了题解中的这一部分：（为大佬点赞！！！）
3、为什么要考虑质因子 (m%9901)==1是否成立？
因为如果有个质因子m，m%9901=1，那用费马小定理求逆元的时候，(m-1)%9901=0，这时候不存在逆元（0是没有倒数的），所以会出错。那么试想，我们m%9901=1，那式子（1+m+m2m^2m2+…+mcntm^{cnt}mcnt) 是不是就等于cnt+1？(因为里面每一项mim^imi(0<=i<=n)mod 9901之后都是1），所以计算需要特判！！！

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=9901;
int yin[10010][2];//0下标对应因子，1下标代表该因子的个数
int cnt=0;ll qpow(ll a,ll b)//矩阵快速幂
{ll res=1;while(b){if(1&b) res=((ll)a*res)%mod;a=(ll)a*a%mod;b>>=1;}return res;}int main()
{ll m,n;scanf("%lld %lld",&m,&n);for(int i=2;i<=m/i;i++)//求解该数的质因子 {if(m%i==0){while(m%i==0){m/=i;    yin[cnt][1]++;}yin[cnt][0]=i;yin[cnt][1]*=n;//因为是要求m的n次幂，所以我们在此处因子的个数时也要乘以相应的倍数 cnt++; }   }if(m>1)//该质因子大于根号n {yin[cnt][0]=m;yin[cnt][1]=n;cnt++;//为了下面的循环，必须要让在循环数组的下标小于cnt，因此需要进行++ } ll ans=1;for(int i=0;i<cnt;i++){   //前半部分求解的是等比数列求和，为了防止是负数，要加上mod在进行取余 ll t=(qpow(yin[i][0],yin[i][1]+1)+mod-1)%mod*qpow(yin[i][0]-1,mod-2)%mod;//第二部分是使用费马小定理求解q-1的逆元 if(yin[i][0]%mod==1)//如果说因子对9901取余的余数是1，那么该因子-1对9901取余的结果就是0，那么此时就不存在逆元，此时就变成因子个数+1个1相加 {ans=ans*(yin[i][1]+1)%mod;}else ans=ans*t%mod;} printf("%lld",ans);return 0;}