【数学基础】直线点法式方程表达

直线和坐标系可以画图为如图所示的形式：

直线lll法线过原点，法线与直线相交于定点PPP，法线长度为ρρρ，法线方向矢量为nnn，法线和横轴夹角为θθθ。根据参考资料，直线的“点法式”表达式为：
A(X−X0)+B(Y−Y0)=0A(X-X_0)+B(Y-Y_0)=0 A(X−X0)+B(Y−Y0)=0

套用本图中，定点坐标为：

X0=ρ⋅cos(θ),Y0=ρ⋅sin(θ)X_0 = ρ·\rm{cos}(θ),Y_0 = ρ·\rm{sin}(θ) X0=ρ⋅cos(θ),Y0=ρ⋅sin(θ)
法向方向矢量：A=cos(θ)A=\rm{cos}(θ)A=cos(θ)，B=sin(θ)B=\rm{sin}(θ)B=sin(θ)，带入点法式公式中得：
cos(θ)⋅(X−ρ⋅cos(θ))+sin(θ)⋅(Y−ρ⋅sin(θ))=0\rm{cos}(θ)·(X-ρ·\rm{cos}(θ))+\rm{sin}(θ)·(Y-ρ·\rm{sin}(θ))=0 cos(θ)⋅(X−ρ⋅cos(θ))+sin(θ)⋅(Y−ρ⋅sin(θ))=0
化简得：
cos(θ)⋅X−ρ⋅cos2(θ)+sin(θ)⋅Y−ρ⋅sin2(θ)=0\rm{cos}(θ)·X-ρ·\rm{cos}^2(θ)+\rm{sin}(θ)·Y-ρ·\rm{sin}^2(θ)=0 cos(θ)⋅X−ρ⋅cos2(θ)+sin(θ)⋅Y−ρ⋅sin2(θ)=0
整理得：
cos(θ)⋅X+sin(θ)⋅Y=ρ\rm{cos}(θ)·X+\rm{sin}(θ)·Y=ρ cos(θ)⋅X+sin(θ)⋅Y=ρ
因此上式可以作为直线方程点法线的简化形式。

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