数学分析 微分中值定理与应用(第6章)
一.拉格朗日定理
1.罗尔定理(RRolle’s Theorem):
定理6.1:若函数f满足如下条件:
①在[a,b]上连续
②在(a,b)上可导
③f(a)=f(b)
则在(a,b)上至少有1点ξ\xiξ,使得f′(ξ)=0f'(\xi)=0f′(ξ)=0
几何意义:在每点都可导的1段连续曲线上,如果曲线的2高端点高度相等,则曲线至少有1条水平切线(见图6-1)
定理中的3个条件缺少任何1个,结论都可能不成立(见图6-2)
2.拉格朗日中值定理(Lagrange Mean Value Theorem):
若函数f满足如下条件:
①在[a,b]上连续
②在(a,b)上可导
则在(a,b)上至少∃1点ξ\xiξ,使得f′(ξ)=f(b)−f(a)b−af'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\qquad\qquadf′(ξ)=b−af(b)−f(a)(2)
说明:当f(a)=f(b),本定理就退化为罗尔定理,即罗尔定理是拉格朗日定理的1个特殊情况f(a)=f(b),本定理就退化为罗尔定理,即罗尔定理是拉格朗日定理的1个特殊情况f(a)=f(b),本定理就退化为罗尔定理,即罗尔定理是拉格朗日定理的1个特殊情况
几何意义:在满足定理条件的曲线y=f(x)上至少∃1点P(ξ,f(ξ)\xi,f(\xi)ξ,f(ξ)),该曲线在该点的切线平行于曲线2个端点的连线AB,证明中引入的辅助函数F(x)表示的正是y=f(x)与AB的差
式(2)被称为拉格朗日公式,该式有几种等价的表示形式:
f(b)−f(a)=f′(ξ)⋅(b−a),a<ξ<b(3)f(b)-f(a)=f'(\xi)·(b-a),a<\xi<b\qquad\qquad(3)f(b)−f(a)=f′(ξ)⋅(b−a),a<ξ<b(3)
f(b)−f(a)=f′(a+θ(b−a))(b−a),0<θ<1(4)f(b)-f(a)=f'(a+θ(b-a))(b-a),0<\theta<1\qquad\qquad(4)f(b)−f(a)=f′(a+θ(b−a))(b−a),0<θ<1(4)
f(a+h)−f(a)=f′(a+θh)h,0<θ<1(5)f(a+h)-f(a)=f'(a+\theta h)h,0<\theta<1\qquad\qquad(5)f(a+h)−f(a)=f′(a+θh)h,0<θ<1(5)
式(2)对a>b或a<b都成立,ξ\xiξ是介于a和b之间的某数,式(4)(5)的特点在于把ξ\xiξ表示成了a+θha+\theta ha+θh
3.拉格朗日中值定理的几个推论:
推论1:若函数f在区间I上可导,且f′(x)≡0(x∈I)f'(x)≡0(x∈I)f′(x)≡0(x∈I),则f为I上的1个常量函数
推论2:若函数f和g均在区间I上可导,且f′(x)≡g′(x)(x∈I)f'(x)≡g'(x)(x∈I)f′(x)≡g′(x)(x∈I),则在I上f(x)与g(x)f(x)与g(x)f(x)与g(x)至多只相差某一常数,即f(x)=g(x)+c(c为某一常数)f(x)=g(x)+c(c为某一常数)f(x)=g(x)+c(c为某一常数)
推论3(导数极限定理):设函数f在某U(x0)U(x_0)U(x0)上连续,在U°(x0)U°(x_0)U°(x0)上可导,且limx→x0f′(x)\displaystyle\lim_{x \to x_0}{f'(x)}x→x0limf′(x)存在,则f在x0x_0x0处可导,且f′(x0)=limx→x0f′(x)(6)f'(x_0)=\displaystyle\lim_{x \to x_0}{f'(x)}\qquad(6)f′(x0)=x→x0limf′(x)(6)
导数极限定理适合用于求分段函数的导数
二.函数的单调性
1.递增/减的充要条件:
定理6.3:若f(x)f(x)f(x)在区间I上可导,则f(x)f(x)f(x)在I上递增(减)的充要条件是:f′(x)≥0(≤0)f'(x)≥0(≤0)f′(x)≥0(≤0)
2.严格递增/减的充要条件:
定理6.4:若函数f在(a,b)上可导,则f在(a,b)上严格递增(减)的充要条件是: ①对∀x∈(a,b)∀x∈(a,b)∀x∈(a,b),有f′(x)≥0(≤0)f'(x)≥0(≤0)f′(x)≥0(≤0) ②在(a,b)的∀子区间上f′(x)≢0f'(x)\not\equiv0f′(x)≡0
注:若f在(a,b)上严格递增(减),且在a右连续,则f在[a,b)上也严格递增(减);对b也有类似结论
推论1:设f在区间I上可微,若f’(x)>0(<0),则f在I上严格递增(减)
推论2(严格单调的充分条件):设f(x)在区间I上满足f′(x)≠0f'(x)≠0f′(x)=0,则f(x)在I上严格单调
3.达布定理(Darboux‘s’ Theorem):
- 该定理又称导函数的介值定理
定理6.5:若函数f在[a,b]上可导,且f+′(a)≠f−′(b)f'_+(a)\neq f'_-(b)f+′(a)=f−′(b),k为介于f+′(a)和f−′(b)f'_+(a)和f'_-(b)f+′(a)和f−′(b)间的∀实数,则至少∃1点ξ∈(a,b)\xi∈(a,b)ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=kf'(\xi)=kf′(ξ)=k
例8参见 导数与微分.一.3.(3) 部分
三.柯西中值定理与不定式极限
1.柯西中值定理:
定理6.6:设函数f和g满足:
①在[a,b]上连续
②在(a.b)上可导
③f’(x)与g’(x)不同时为0
④g(a)≠g(b)
则∃ξ∈(a,b)\xi∈(a,b)ξ∈(a,b),使f′(ξ)g′(ξ)=f(b)−f(a)g(b)−g(a)\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a )}g′(ξ)f′(ξ)=g(b)−g(a)f(b)−f(a)
2.不定式极限
我们把2个无穷小(大)量之比的极限统称为不定式极限,分别记为00型和∞∞型\frac{0}{0}型和\frac{\infty}{\infty}型00型和∞∞型的不定式极限,这种极限可能存在也可能不存在
我们使用导数来研究不定式极限,这种方法被称为洛必达法则(L’Hospital’s Rule),柯西中值定理是建立洛必达法则的理论依据
概括地说,洛必达法则是在一定条件下通过对分子和分母分别求导,然后再通过分别求导后比值的极限来确定未定式值的方法
(1)00\frac{0}{0}00型不定式极限:
定理6.7:若函数f和g满足:
①limx→x0f(x)=limx→x0g(x)=0\displaystyle\lim_{x \to x_0}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to x_0}{g(x)}=0x→x0limf(x)=x→x0limg(x)=0
②在某U°(x0)U°(x_0)U°(x0)上f和g均可导,且g′(x)≠0g'(x)≠0g′(x)=0
③limx→x0f′(x)g′(x)=A(A可为实数,也可为±∞或∞)\displaystyle\lim_{x \to x_0}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=A(A可为实数,也可为±\infty或\infty)x→x0limg′(x)f′(x)=A(A可为实数,也可为±∞或∞)
则limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f′(x)g′(x)=A\displaystyle\lim_{x \to x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\displaystyle\lim_{x \to x_0}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=Ax→x0limg(x)f(x)=x→x0limg′(x)f′(x)=A
注意: 1.将定理6.7中的x→x0x\to x_0x→x0换成x→x0±/±∞/∞x\to x_0^{±/±\infty/\infty}x→x0±/±∞/∞,只要相应地修改②中的邻域,也可得到相同的结论
\qquad 2.如果limx→x0f′(x)g′(x)\displaystyle\lim_{x \to x_0}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}x→x0limg′(x)f′(x)仍是00\frac{0}{0}00型的不定式极限,且仍满足3个条件,则可继续使用定理6.7
(2)⚫∞\frac{⚫}{\infty}∞⚫型不定式极限:
定理6.8:若函数f和g满足:
①在某U°+(x0)U°_+(x_0)U°+(x0)上f和g均可导,且g′(x)≠0g'(x)≠0g′(x)=0
②limx→x0+g(x)=∞\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{g(x)=\infty}x→x0+limg(x)=∞
③limx→x0+f′(x)g′(x)=A(A可为实数,也可为±∞或∞)\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=A(A可为实数,也可为±\infty或\infty)x→x0+limg′(x)f′(x)=A(A可为实数,也可为±∞或∞)
则limx→x0+f(x)g(x)=limx→x0+f′(x)g′(x)=A\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=Ax→x0+limg(x)f(x)=x→x0+limg′(x)f′(x)=A
(3)其他类型的不定式极限:
不定式极限还有0⋅∞,1∞,00,∞0,∞−∞0·\infty,1^\infty,0^0,\infty^0,\infty-\infty0⋅∞,1∞,00,∞0,∞−∞等类型,经过简单变换,这些类型一般均可变为00\frac{0}{0}00型或∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞型不定式极限
(4)数列的不定式极限:
可利用函数极限的归结原则,通过先求相应形式的函数极限而得到结果
=而不能直接在数列形式下应用洛必达法则,因为对离散变量n∈N+n∈N_+n∈N+,求导数没有意义
四.泰勒公式
1.泰勒多项式(Taylor Series):
对一般函数f,如果其在x0处存在直到n阶的导数,由这些导数构造1个n次多项式:Tn(x)=∑k=0n[f(k)(x0)k!(x−x0)k](2)T_n(x)=\displaystyle \sum^{n}_{k=0}[{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}}(x-x_0)^k]\qquad(2)Tn(x)=k=0∑n[k!f(k)(x0)(x−x0)k](2),该多项式被称为在x0的泰勒多项式,各项的系数f(k)(x0)k!\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}k!f(k)(x0)称为泰勒系数
易知f(x)与其泰勒多项式Tn(x)在x0处有相同的函数值和相同的直到n阶的导数,即:f(k)(x0)=Tn(k)(x0)(k=1,2...n)(3)f^{(k)}(x_0)=T^{(k)}_n(x_0)(k=1,2...n)\qquad(3)f(k)(x0)=Tn(k)(x0)(k=1,2...n)(3)
下面证明f(x)−Tn(x)=o((x−x0)n)f(x)-T_n(x)=o((x-x_0)^n)f(x)−Tn(x)=o((x−x0)n),即用泰勒多项式逼近f(x)f(x)f(x)时,其误差为(x-x0)n的高阶无穷小量
2.带有皮亚诺余项的泰勒公式(Taylor’s Formula with Peano Type Remainder)
(1)一般情况:
定理6.9:若函数f(x)在x0处∃直至n阶的导数,则有f(x)=Tn(x)+o((x−x0)n)f(x)=T_n(x)+o((x-x_0)^n)f(x)=Tn(x)+o((x−x0)n),即Tn(x)=∑k=0n[f(k)(x0)k!(x−x0)k]+o((x−x0)n)(4)T_n(x)=\displaystyle \sum^{n}_{k=0}[{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}}(x-x_0)^k]+o((x-x_0)^n)\qquad(4)Tn(x)=k=0∑n[k!f(k)(x0)(x−x0)k]+o((x−x0)n)(4)该式称为函数fff在x0的带有皮亚诺余项的泰勒公式,形如o((x-x_0)^n)的余项称为皮亚诺型余项
注1:若f(x)f(x)f(x)在x0附近满足f(x)=pn(x)+o((x−x0)n)(pn(x)为(1)式所示的n阶多项式)(5)f(x)=p_n(x)+o((x-x_0)^n)(p_n(x)为(1)式所示的n阶多项式)\qquad(5)f(x)=pn(x)+o((x−x0)n)(pn(x)为(1)式所示的n阶多项式)(5)这不意味着pn(x)p_n(x)pn(x)一定是fff的泰勒多项式,如:f(x)=xn+1D(x)(n∈N+,D(x)为狄利克雷函数)f(x)=x^{n+1}D(x)(n∈N_+,D(x)为狄利克雷函数)f(x)=xn+1D(x)(n∈N+,D(x)为狄利克雷函数)f(x)在x=0处除了f’(0)=0外没有其他任何阶导数,因此无法构建高于1次的Tn(x)T_n(x)Tn(x),但因:limx→0f(x)xn=limx→0xD(x)=0,即f(x)=o(xn)\displaystyle\lim_{x \to 0}{\frac{f(x)}{x^n}}=\displaystyle\lim_{x \to 0}{xD(x)}=0,即f(x)=o(x^n)x→0limxnf(x)=x→0limxD(x)=0,即f(x)=o(xn)故若取Pn(x)=0+0⋅x+...+0⋅xn≡0P_n(x)=0+0·x+...+0·x^n\equiv0Pn(x)=0+0⋅x+...+0⋅xn≡0,则(5)式对∀n∈N+∀n∈N_+∀n∈N+恒成立
注2:满足(5)式的n次逼近多项式Pn(x)是唯一的P_n(x)是唯一的Pn(x)是唯一的
综合定理6.9和注2,满足定理6.9的条件时,满足(5)式的逼近多项式pn(x)p_n(x)pn(x)只可能是fff的泰勒多项式Tn(x)T_n(x)Tn(x)
(2)在x0=0x_0=0x0=0处的情况:
在x0=0x_0=0x0=0处的特殊形式为:f(x)=∑k=0n[f(k)(x0)k!xk]+o(xn)(6)f(x)=\displaystyle \sum^{n}_{k=0}[{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}}x^k]+o(x^n)\qquad(6)f(x)=k=0∑n[k!f(k)(x0)xk]+o(xn)(6)该式称为带有皮亚诺余项的麦克劳林公式(Maclaurin’s Formula ~)
(3)常用的带有皮亚诺余项的麦克劳林公式:
①ex=∑k=0nxkk!+o(xn)e^x=\displaystyle \sum^{n}_{k=0}{\frac{x^k}{k!}}+o(x^n)ex=k=0∑nk!xk+o(xn)
②sinx=∑k=0n(−1)kx2k+1(2k+1)!+o(x2(n+1))sinx=\displaystyle \sum^{n}_{k=0}{(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}}+o(x^{2(n+1)})sinx=k=0∑n(−1)k(2k+1)!x2k+1+o(x2(n+1))
③cosx=∑k=0n(−1)kx2k(2k)!+o(x2n+1)cosx=\displaystyle \sum^{n}_{k=0}{(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}}+o(x^{2n+1})cosx=k=0∑n(−1)k(2k)!x2k+o(x2n+1)
④ln(1+x)=∑k=1n(−1)k−1xkk+o(xn)ln(1+x)=\displaystyle \sum^{n}_{k=1}{(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}}+o(x^{n})ln(1+x)=k=1∑n(−1)k−1kxk+o(xn)
⑤(1+x)α=1+∑k=1n[∏i=0k−1(α−i)k!xk]+o(xn)(1+x)^α=1+\displaystyle \sum^{n}_{k=1}{[\frac{\displaystyle\prod_{i=0}^{k-1}{(α-i)}}{k!}x^k]}+o(x^n)(1+x)α=1+k=1∑n[k!i=0∏k−1(α−i)xk]+o(xn)
⑥11−x=∑k=0nxk+o(xn)\frac{1}{1-x}=\displaystyle \sum^{n}_{k=0}{x^k}+o(x^n)1−x1=k=0∑nxk+o(xn)
3.带有拉格朗日余项的泰勒公式(~ with Lagrange Type Remainder)
(1)一般情况:
泰勒定理(定理6.10):若函数fff在[a,b]上∃直至n阶的连续导函数,在(a,b)上∃(n+1)阶的导函数,则对∀给定的x,x0∈[a,b],至少∃1点ξ∈(a,b)\xi∈(a,b)ξ∈(a,b),使:f(x)=∑k=0n[f(k)(x0)k!(x−x0)k]+f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1(7)f(x)=\displaystyle \sum^{n}_{k=0}[{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}}(x-x_0)^k]+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\qquad(7)f(x)=k=0∑n[k!f(k)(x0)(x−x0)k]+(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1(7)(7)式称为带有拉格朗日余项的泰勒公式,余项Rn(x)=f(x)−Tn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1,R_n(x)=f(x)-T_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},Rn(x)=f(x)−Tn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1,其中ξ=x0+θ(x−x0)(0<θ<1)其中\xi=x_0+\theta(x-x_0)(0<\theta <1)其中ξ=x0+θ(x−x0)(0<θ<1)称为拉格朗日型余项
注意:当n=0,(7)式记为拉格朗日中值公式f(x)−f(x0)=f′(ξ)(x−x0)f(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0)f(x)−f(x0)=f′(ξ)(x−x0)故泰勒定理可看作拉格朗日中值定理的推广
(2)在x0=0x_0=0x0=0处的情况:
在x0=0x_0=0x0=0处的特殊形式为:f(x)=∑k=0n[f(k)(x0)k!xk]+o(xn)+f(n+1)(θx)(n+1)!xn+1(0<θ<1)(8)f(x)=\displaystyle \sum^{n}_{k=0}[{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}}x^k]+o(x^n)+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}(0<\theta <1)\qquad(8)f(x)=k=0∑n[k!f(k)(x0)xk]+o(xn)+(n+1)!f(n+1)(θx)xn+1(0<θ<1)(8)该式称为带有拉格朗日余项的麦克劳林公式(Maclaurin’s Formula with Lagrange Type Remainder)
(3)常用的带有拉格朗日余项的麦克劳林公式:
①ex=∑k=0nxkk!+eθx(n+1)!xn+1(0<θ<1,x∈R)e^x=\displaystyle \sum^{n}_{k=0}{\frac{x^k}{k!}}+\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{n+1}(0<\theta <1,x∈R)ex=k=0∑nk!xk+(n+1)!eθxxn+1(0<θ<1,x∈R)
②sinx=∑k=0n(−1)kx2k+1(2k+1)!+(−1)n+1cosθx(2n+3)!x2n+3(0<θ<1,x∈R)sinx=\displaystyle \sum^{n}_{k=0}{(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}}+(-1)^{n+1}\frac{cos\,\theta x}{(2n+3)!}x^{2n+3}(0<\theta <1,x∈R)sinx=k=0∑n(−1)k(2k+1)!x2k+1+(−1)n+1(2n+3)!cosθxx2n+3(0<θ<1,x∈R)
③cosx=∑k=0n(−1)kx2k(2k)!+(−1)n+1cosθx(2n+2)x2n+2(0<θ<1,x∈R)cosx=\displaystyle \sum^{n}_{k=0}{(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}}+(-1)^{n+1}\frac{cos\,\theta x}{(2n+2)}x^{2n+2}(0<\theta <1,x∈R)cosx=k=0∑n(−1)k(2k)!x2k+(−1)n+1(2n+2)cosθxx2n+2(0<θ<1,x∈R)
④ln(1+x)=∑k=1n(−1)k−1xkk+(−1)nxn+1(n+1)(1+θx)n+1(0<θ<1,x>−1)ln(1+x)=\displaystyle \sum^{n}_{k=1}{(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}}+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{(n+1)(1+\theta x)^{n+1}}(0<\theta <1,x>-1)ln(1+x)=k=1∑n(−1)k−1kxk+(−1)n(n+1)(1+θx)n+1xn+1(0<θ<1,x>−1)
⑤(1+x)α=1+∑k=1n[∏i=0k−1(α−i)k!xk]+∏i=0n(α−i)(n+1)!(1+θx)α−n−1xn+1(0<θ<1,x>−1)(1+x)^α=1+\displaystyle \sum^{n}_{k=1}{[\frac{\displaystyle\prod_{i=0}^{k-1}{(α-i)}}{k!}x^k]}+\frac{\displaystyle\prod_{i=0}^{n}{(\alpha-i)}}{(n+1)!}{(1+\theta x)^{\alpha-n-1}x^{n+1}}(0<\theta <1,x>-1)(1+x)α=1+k=1∑n[k!i=0∏k−1(α−i)xk]+(n+1)!i=0∏n(α−i)(1+θx)α−n−1xn+1(0<θ<1,x>−1)
⑥11−x=∑k=0nxk+xn+1(1−θx)n+2(0<θ<1,∣x∣<1)\frac{1}{1-x}=\displaystyle \sum^{n}_{k=0}{x^k}+\frac{x^{n+1}}{(1-\theta x)^{n+2}}(0<\theta <1,|x|<1)1−x1=k=0∑nxk+(1−θx)n+2xn+1(0<θ<1,∣x∣<1)
4.泰勒公式可应用于近似计算:
五.对函数图像的研究
①求函数的定义域
②考察函数的奇偶性/周期性
③找到函数的某些特殊点,如与坐标轴的交点/不连续点/不可导点/极值点
④确定函数的单调区间/极值点/凸性区间/拐点
⑤考察渐近线
⑥绘制图像
1.极值判别
(1)极值的第一充分条件:
定理6.11:设fff在x0处连续,在某U°(x0;δ)上可导,则 ①若x∈(x0−δ,x0)x∈(x_0-\delta,x_0)x∈(x0−δ,x0)时f′(x)≤0f'(x)≤0f′(x)≤0,x∈(x0,x0+δ)时f′(x)≥0x∈(x_0,x_0+\delta)时f'(x)≥0x∈(x0,x0+δ)时f′(x)≥0,则fff在x0取得极小值 ②若x∈(x0−δ,x0)x∈(x_0-\delta,x_0)x∈(x0−δ,x0)时f′(x)≥0f'(x)≥0f′(x)≥0,x∈(x0,x0+δ)时f′(x)≤0x∈(x_0,x_0+\delta)时f'(x)≤0x∈(x0,x0+δ)时f′(x)≤0,则fff在x0取得极大值
(2)极值的第二充分条件:
定理6.12:设fff在某U(x0;δ)上一阶可导,在x=x0处二阶可导,且f’(x0)=0,f’’(x0)≠0,则 ①若f’’(x0)<0,则f在x0取得极大值 ②若f’’(x0)>0,则f在x0取得极小值
(2)极值的第三充分条件:
定理6.13:设fff在某U(x0;δ)上∃直到n-1阶的导函数,在x0处n阶可导,且f(k)(x0)=0(k=1,2...n−1),f(n)≠0f^{(k)}(x_0)=0(k=1,2...n-1),f^{(n)}≠0f(k)(x0)=0(k=1,2...n−1),f(n)=0,则 ①当n为偶数,f在x0处取得极值,且当f(n)(x0)<0f^{(n)}(x_0)<0f(n)(x0)<0时取极大值,f(n)(x0)>0f^{(n)}(x_0)>0f(n)(x0)>0时取极小值 ②当n为奇数,f在x0处不取极值
该定理的证明类似于定理6.12
2.函数的最大/小值:
3.函数的凸性
(1)凸性:
延森不等式(Jensen Inequality):定义1的一般形式
若fff为[a,b]上的凸函数,则对∀xi∈[a,b],λi>0(i=1,2...n),∑i=1nλi=1∀x_i∈[a,b],λ_i>0(i=1,2...n),\displaystyle\sum_{i=1}^n{λ_i}=1∀xi∈[a,b],λi>0(i=1,2...n),i=1∑nλi=1,有f(∑i=1nλixi)≤∑i=1nλif(xi)f(\displaystyle\sum_{i=1}^n{λ_ix_i})≤\displaystyle\sum_{i=1}^n{λ_if(x_i)}f(i=1∑nλixi)≤i=1∑nλif(xi)
(2)引理:
f为区间I上的凸函数的充要条件是:对于I上的∀3点x1<x2<x3x_1<x_2<x_3x1<x2<x3,总有f(x2)−f(x1)x2−x1≤f(x3)−f(x2)x3−x2\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}≤\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}x2−x1f(x2)−f(x1)≤x3−x2f(x3)−f(x2)
(3)定理6.14:
设f为区间I上的可导函数,则下述论断互相等价:
①f为I上的凸函数
②f’为I上的增函数
③对I上∀2点x1,x2x_1,x_2x1,x2,有f(x2)≥f(x1)+f′(x1)(x2−x1)(5)f(x_2)≥f(x_1)+f'(x_1)(x_2-x_1)\qquad(5)f(x2)≥f(x1)+f′(x1)(x2−x1)(5)
论断③的几何意义是:曲线y=f(x)总在它的∀切线的上方,这是可导凸函数的几何特征
对凹函数,也有类似的结论
(4)定理6.15:
设f为区间I上的二阶可导函数,则在I上f为凸(凹)函数的充要条件是:f′′(x)≥0(≤0),x∈If''(x)≥0(≤0),x∈If′′(x)≥0(≤0),x∈I
4.函数的拐点
(1)拐点的定义:
(2)拐点的必要条件:
定理6.16:若f在x0处二阶可导,则(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点的必要条件是f’’(x0)=0
(3)拐点的充分条件:
定理6.17:若ff在x0处可导,在某U°(x0)上二阶可导,若在U°+(x0)和U°−(x0)U°_+(x_0)和U°_-(x_0)U°+(x0)和U°−(x0)上f’’(x)的符号相反,则(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点
注意:若(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点,y=f(x)在x0的导数不一定存在,如y=x13y=x^{\frac{1}{3}}y=x31在x=0处的情况
六.用牛顿切线法求方程的近似解
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