可降阶的高阶微分方程

2024-04-26 08:47:06

一，n阶微分方程的一般形式

$F(x,y,{y}',...,y^{(n)})=0$ 或 $y^{(n)}=f(x,y,{y}',...,y^{(n-1)})$
通解： $y=\varphi (x,C_{1},C_{2},...,C_{n})$

二，n阶微分方程 $y^{(n)}=f(x)$

思路：这种n阶微分方程可以通过n次积分求出通解

三，特殊的二阶微分方程

第一种： $F(x,{y}',{y}'')=0$ ，不显含y
思路：令 ${y}'=p$ ，则原方程化为 $F(x,p,{p}')=0$ ，解出p的通解 $p=\varphi (x,C_{1})$ ，再还原成 ${y}'=\varphi (x,C_{1})$ ，得y的通解 $y=\int \varphi (x,C_{1})dx+C_{2}$
第二种： $F(y,{y}',{y}'')=0$ ，不显含x
思路：令 ${y}'=p$ ， ${y}''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$ ，原方程化为 $F(y,p,p\frac{dp}{dy})=0$ ，解出p的通解 $p=\varphi (y,C_{1})$ ，再还原成 ${y}'=\varphi (y,C_{1})$ ，得y的通解 $y=\int \varphi (x,C_{1})dx+C_{2}$

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