二阶线性微分方程解的结构（齐次与非齐次）+ 常数变易法

一、线性微分方程的解的结构

1.1 二阶齐次线性方程

y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(1)y''+P(x)y'+Q(x)y=0 \tag{1} y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(1)

定理1：如果函数y1(x)y_1(x)y1(x)与y2(x)y_2(x)y2(x)是方程（1）的两个解，那么
y=C1y1(x)+C2y2(x)(2)y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) \tag{2} y=C1y1(x)+C2y2(x)(2)
也是方程（1）的解，其中C1,C2C_1,C_2C1,C2是任意常数。

解（2）从形式上看含有C1C_1C1和C2C_2C2两个任意常数，但它不一定是方程（1）的通解。那么在什么情况下（2）式才是方程（1）的通解呢？要解决这个问题，还得引入新概念，即函数组的线性相关与线性无关。

设y1(x),y2(x),⋅⋅⋅,yn(x)y_1(x),y_2(x),···,y_n(x)y1(x),y2(x),⋅⋅⋅,yn(x)为定义在区间III上的n个函数，如果存在n个不全为零的常数k1,k2,⋅⋅⋅,knk_1,k_2,···,k_nk1,k2,⋅⋅⋅,kn，使得当x∈Ix\in Ix∈I时有恒等式
k1y1+k2y2+⋅⋅⋅+knyn=0k_1y_1+k_2y_2+···+k_ny_n=0 k1y1+k2y2+⋅⋅⋅+knyn=0
成立，那么称这n个函数在区间I上线性相关；否则线性无关。

应用上述概念可知，对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数；如果比为常数，那么它们就线性相关；否则就线性无关。

定理2：如果y1(x)y_1(x)y1(x)与y2(x)y_2(x)y2(x)是方程（1）的两个线性无关的特解，那么
y=C1y1(x)+C2y2(x)y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) y=C1y1(x)+C2y2(x)
就是方程（1）的通解，C1,C2C_1,C_2C1,C2是任意常数。

推论：如果y1(x),y2(x),⋅⋅⋅，yn(x)y_1(x),y_2(x),···，y_n(x)y1(x),y2(x),⋅⋅⋅，yn(x)是n阶齐次线性方程
y(n)+a1(x)y(n−1)+⋅⋅⋅+an−1(x)y′+an(x)y=0y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+···+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0 y(n)+a1(x)y(n−1)+⋅⋅⋅+an−1(x)y′+an(x)y=0
的n个线性无关的解，那么，此方程的通解为
y=C1y1(x)+C2y2(x)+⋅⋅⋅+Cnyn(x)y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+···+C_ny_n(x) y=C1y1(x)+C2y2(x)+⋅⋅⋅+Cnyn(x)
其中C1,C2,⋅⋅⋅,CnC_1,C_2,···,C_nC1,C2,⋅⋅⋅,Cn为任意常数。

1.2 二阶非齐次线性方程

一阶非齐次线性微分方程的通解由两部分构成：一部分是对应的齐次方程的通解，另一部分是非齐次方程本身的一个特解。实际上，不仅一阶非齐次线性方程的通解具有这样的结构，而且二阶及更高阶的非齐次线性微分方程的通解也具有同样的结构。

定理3：设y∗(x)y^*(x)y∗(x)是二阶非齐次线性方程
y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x)(3)y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x) \tag{3} y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x)(3)
的一个特解。Y(x)Y(x)Y(x)是与（3）对应的齐次方程（1）的通解，则
y=Y(x)+y∗(x)y=Y(x)+y^*(x) y=Y(x)+y∗(x)
是二阶非齐次线性方程（3）的通解。

由于对应的齐次方程（1）的通解Y=C1y1+C2y2Y=C_1y_1+C_2y_2Y=C1y1+C2y2中含有两个任意常数，所以y=Y+y∗y=Y+y^*y=Y+y∗中也含有两个任意常数，从而它就是二阶非齐次线性方程（3）的通解。

定理4：设非齐次线性方程（3）的右端f(x)f(x)f(x)是两个函数之和，即
y′′+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)+f2(x)y''+P(x)y'+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x) y′′+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)+f2(x)
而y1∗(x)y_1^*(x)y1∗(x)与y2∗(x)y_2^*(x)y2∗(x)分别是方程
y′′+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)y''+P(x)y'+Q(x)y=f_1(x) y′′+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)
与
y′′+P(x)y′+Q(x)y=f2(x)y''+P(x)y'+Q(x)y=f_2(x) y′′+P(x)y′+Q(x)y=f2(x)
的特解，则y1∗(x)+y2∗(x)y_1^*(x)+y_2^*(x)y1∗(x)+y2∗(x)就是原方程的特解。

这已订立通常称为线性微分方程的解的叠加原理。

定理3和定理4也可推广到n阶非齐次线性方程。

二、常数变易法

为解一阶非齐次线性方程，我们用了常数变易法。这方法的特点是：如果Cy1(x)Cy_1(x)Cy1(x)是齐次线性方程的通解，那么，可以利用变换y=uy1(x)y=uy_1(x)y=uy1(x)（这变换是把齐次方程的通解中的任意常数C换成未知函数u(x)u(x)u(x)而得到的）去解非齐次线性方程。这一方法也适用于解高阶线性方程。下面就二阶线性方程来作讨论。

2.1 已知齐次方程的两个解y1(x)y_1(x)y1(x)和y2(x)y_2(x)y2(x)

如果已知齐次方程（1）的通解为
Y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)Y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) Y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)
那么，可以用如下的常数变易法去求非齐次方程（3）的通解。令
y=y1(x)v1+y2(x)v2(4)y=y_1(x)v_1+y_2(x)v_2 \tag{4} y=y1(x)v1+y2(x)v2(4)
要确定未知函数v1(x)v_1(x)v1(x)及v2(x)v_2(x)v2(x)使（4）式所表示的函数满足非齐次方程（3）。为此对（4）式求导，得
y′=y1v1′+y2v2′+y1′v1+y2′v2y'=y_1v_1'+y_2v_2'+y_1'v_1+y_2'v_2 y′=y1v1′+y2v2′+y1′v1+y2′v2
由于两个未知函数v1,v2v_1,v_2v1,v2只需使（4）式所表示的函数满足一个关系式（3），所以可规定它们再满足一个关系式。从y′y'y′的上述表示可看出，为了使y′′y''y′′的表示式中不含v1′′v_1''v1′′和v2′′v_2''v2′′，可设
y1v1′+y2v2′=0(5)y_1v_1'+y_2v_2'=0 \tag{5} y1v1′+y2v2′=0(5)
从而
y′=y1′v1+y2′v2y'=y_1'v_1+y_2'v_2 y′=y1′v1+y2′v2
再求导，得
y′′=y1′v1′+y2′v2′+y1′′v1+y2′′v2y''=y_1'v_1'+y_2'v_2'+y_1''v_1+y_2''v_2 y′′=y1′v1′+y2′v2′+y1′′v1+y2′′v2
把y,y′,y′′y,y',y''y,y′,y′′代入方程（3），化简得
y1′v1′+y2′v2′+(y1′′+Py1′+Qy1)v1+(y2′′+Py2′+Qy2)v2=fy'_1v'_1+y_2'v'_2+(y_1''+Py_1'+Qy_1)v_1+(y_2''+Py_2'+Qy_2)v_2=f y1′v1′+y2′v2′+(y1′′+Py1′+Qy1)v1+(y2′′+Py2′+Qy2)v2=f
注意到y1y_1y1及y2y_2y2是齐次方程（1）的解，故上式即为
y1′v1′+y2′v2′=f(6)y_1'v_1'+y_2'v_2'=f \tag{6} y1′v1′+y2′v2′=f(6)
联立方程（5）与（6），在系数行列式
W=∣y1y2y1′y2′∣=y1y2′−y1′y2≠0W =\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1'& y_2' \end{vmatrix} =y_1y_2'-y_1'y_2 \neq 0 W=∣∣∣∣y1y1′y2y2′∣∣∣∣=y1y2′−y1′y2=0
时，可解得
v1′=−y2fW,v2′=y1fWv_1'=-\frac{y_2 f}{W},\, v_2'=\frac{y_1f}{W} v1′=−Wy2f,v2′=Wy1f
对上两式积分（假定f(x)f(x)f(x)连续），得
v1=C1+∫(−y2fW)dx,v2=C2+∫y1fWdxv_1=C_1+\int(-\frac{y_2f}{W})dx,\, v_2=C_2+\int\frac{y_1f}{W}dx v1=C1+∫(−Wy2f)dx,v2=C2+∫Wy1fdx
于是得非齐次方程（3）的通解为
y=C1y1+C2y2−y1∫y2fWdx+y2∫y1fWdxy=C_1y_1+C_2y_2-y_1\int\frac{y_2f}{W}dx+y_2\int\frac{y_1f}{W}dx y=C1y1+C2y2−y1∫Wy2fdx+y2∫Wy1fdx

2.2 已知齐次方程的一个解y1(x)y_1(x)y1(x)

如果只知齐次方程（1）的一个不恒为零的解y1(x)y_1(x)y1(x)，那么，利用变换y=uy1(x)y=uy_1(x)y=uy1(x)，可把非齐次方程（3）化为一阶线性方程。

事实上，把
y=y1u,y′=y1u′+u1′u,y′′=y1u′′+2y1′u′+y1′′uy=y_1u,\,y'=y_1u'+u_1'u,\, y''=y_1u''+2y_1'u'+y_1''u y=y1u,y′=y1u′+u1′u,y′′=y1u′′+2y1′u′+y1′′u
代入方程（3），化简得
y1u′′+(2y1′+Py1)u′+(y1′′+Py1′+Qy1)u=fy_1u''+(2y_1'+Py_1)u'+(y_1''+Py_1'+Qy_1)u=f y1u′′+(2y1′+Py1)u′+(y1′′+Py1′+Qy1)u=f
由于y1′′+Py1′+Qy1=0y_1''+Py_1'+Qy_1=0y1′′+Py1′+Qy1=0，故上式为
y1u′′+(2y1′′+Py1)u′=fy_1u''+(2y_1''+Py_1)u'=f y1u′′+(2y1′′+Py1)u′=f
令u′=zu'=zu′=z，上式即化为一阶线性方程
y1z′+(2y1′+Py1)z=f(7)y_1z'+(2y_1'+Py_1)z=f \tag{7} y1z′+(2y1′+Py1)z=f(7)
把方程（3）化为方程（7）以后，按一阶线性方程的解法，设求得方程（7）的通解为
z=C2Z(x)+z∗(x)z=C_2Z(x)+z^*(x) z=C2Z(x)+z∗(x)
积分得u=C1+C2U(x)+u∗(x)u=C_1+C_2U(x)+u^*(x)u=C1+C2U(x)+u∗(x)（其中U′(x)=Z(x),u∗’(x)=z∗(x)U'(x)=Z(x),u^{*}{’}(x)=z^*(x)U′(x)=Z(x),u∗’(x)=z∗(x)），

上式两端乘y1(x)y_1(x)y1(x)，便得方程（3）的通解
y=C1y1(x)+C2U(x)y1(x)+u∗(x)y1(x)y=C_1y_1(x)+C_2U(x)y_1(x)+u^*(x)y_1(x) y=C1y1(x)+C2U(x)y1(x)+u∗(x)y1(x)
上式方法显然也适用于求齐次方程（1）的通解。