• 向量

什么是向量？大小，方向。

有大小有方向的量就叫向量。存在于平面就叫平面向量。

• 发展历程

向量(矢量)这个术语作为现代数学-物理中的一个重要概念，首先是由英国数学家哈密顿使用的。向量的名词虽来自哈密顿，但向量作为一条有向线段的思想却由来已久。向量理论的起源与发展主要有三条线索：物理学中的速度和力的平行四边形法则、位置几何、复数的几何表示。
物理学中的速度与力的平行四边形概念是向量理论的一个重要起源之一。18世纪中叶之后，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接导致了在19世纪中叶向量力学的建立。同时，向量概念是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景。它始于莱布尼兹的位置几何。
现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。18世纪，由于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的热点。哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。随后，吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受。

平面向量也叫几何矢量。

• 表达方式

模(module)，线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。

向量介绍

①零向量：长度为0的向量。

②相等向量：两个长度相等且方向相等的向量。

③平行向量：两个方向相同或相反的非零向量。

向量a、b平行，记作a//b，零向量与任意向量平行，即0//a。

④共线向量

平面向量。

⑤零向量与任何向量都平行且垂直。

⑥模等于1个单位长度的向量叫做单位向量。

• 坐标

①基底

平面上,任意向量a(包括零向量)均可用两个非零向量(e1、e2)表示,即 a = x * e1 + y * e2 ((x, y)

R)。

作为基底的向量不能是零向量,即e1≠0、e2≠0(这里0指零向量)。一组基底并非一个非零向量,而是指两个非零向量。

向量a的基底不是唯一的。

②坐标

取i, j作为基底，a = x * e1 + y * e2

a = x * i + y * j (x, y唯一)，

记作a = (x, y).

运算

①加法运算

②减法运算

（1）a + (－a)=(－a) + a=0,

（2）a－b=a + (－b).

③数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 λa .

• < 0 ：λa的方向和a的

  方向相反；

• = 0 ：λa=0；
• > 0 ：λa的方向和a的

  方向相同；

（1）(λμ)a= λ(μa)； （2）(λ ± μ)a= λa ± μa；

（3）λ(a±b) = λa± λb； （4）(－λ)a=－(λa) = λ(－a).

④向量的线性关系

线性组合：an(n=1,2,3,......), λn(n=1,2,3,......), （n 表示下标）

a=λ1 a1 + λ2 a2 + λ3 a3 +……+ λn an,叫做向量a1,a2,……，an的线性组合.

1. 若上式λ不全为0，且λ1 a1 + λ2 a2 +……+ λn an = 0, 那么n个向量a1, a2,……，an叫做线性相关. 反之叫做线性无关.
2. 若一组向量中的一部分线性相关，那么这一组向量就线性相关.
3. 两向量共线的充要条件是它们线性相关.

坐标

①向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标.

②向量的坐标可进行向量的线性运算

• 两个非零向量共线的充要条件是对应坐标成比例.
• 三个非零向量a{X1, Y1, Z1}, b{X2, Y2, Z3}, c{X3, Y3, Z3}，共面的充要条件是

参考资料：

①360百科：平面向量（平面向量_360百科）

②解析几何 / 吕林根，徐子道编. - -4 版. - -北京：高等教育出版社，2006.5（2016.5重印）