矩阵论（零）：线性代数基础知识整理（2）—

矩阵论专栏：专栏（文章按照顺序排序）

本篇博客承接上篇矩阵论（零）：线性代数基础知识整理（1）——逆矩阵、初等变换、满秩分解，主要整理秩相关的结论。

线性方程组的解与向量组的秩
- 线性方程组的解（初步讨论）
- 向量组的秩
- 线性方程组的解（进一步讨论）
零矩阵的判定定理
关于秩的重要结论（结合向量组的秩、分块矩阵的秩的方法进行总结）
- 矩阵的秩与向量组的秩的关系
- 常用矩阵秩相关的等式和不等式
  - 公式1：∣r(A)−r(B)∣⩽r(A±B)⩽r(A)+r(B)|r(A)-r(B)|\leqslant r(A\pm B)\leqslant{}r(A)+r(B)∣r(A)−r(B)∣⩽r(A±B)⩽r(A)+r(B)以及取等号的条件
  - 公式2：r(AB)⩽min{r(A),r(B)}r(AB)\leqslant{}min\{r(A),r(B)\}r(AB)⩽min{r(A),r(B)}
  - 公式3（Sylvester不等式）：r(A)+r(B)−n⩽r(AB)r(A)+r(B)-n\leqslant{}r(AB)r(A)+r(B)−n⩽r(AB)以及取等号的条件
  - 公式4（Frobenius不等式）：r(ABC)⩾r(AB)+r(BC)−r(B)r(ABC)\geqslant r(AB)+r(BC)-r(B)r(ABC)⩾r(AB)+r(BC)−r(B)以及取等号的条件
  - 公式5：r(I−AB)⩽r(I−A)+r(I−B)r(I-AB)\leqslant r(I-A)+r(I-B)r(I−AB)⩽r(I−A)+r(I−B)
  - 公式6：若AB=BAAB=BAAB=BA，则r(A+B)⩽r(A)+r(B)−r(AB)r(A+B)\leqslant r(A)+r(B)-r(AB)r(A+B)⩽r(A)+r(B)−r(AB)
  - 公式7：r(AHA)=r(AAH)=r(A)r(A^HA)=r(AA^H)=r(A)r(AHA)=r(AAH)=r(A)
  - 公式8：若W=YTAXW=Y^TAXW=YTAX非奇异，则r(A−AXW−1YTA)=r(A)−r(AXW−1YTA)r(A-AXW^{-1}Y^TA)=r(A)-r(AXW^{-1}Y^TA)r(A−AXW−1YTA)=r(A)−r(AXW−1YTA)
    - 推论：Wedderburn秩1化简公式
  - 公式9：设AAA是nnn阶方阵，则r(An)=r(An+1)=r(An+2)=...r(A^n)=r(A^{n+1})=r(A^{n+2})=...r(An)=r(An+1)=r(An+2)=...
- 常见相关推论
  - 矩阵方程AX=BAX=BAX=B有解的充要条件
  - 同解方程组的充要条件
  - 幂等矩阵的充要条件
  - 对合矩阵的充要条件

由于篇幅太长，加上公式太多打开网页渲染慢的原因，目录中的内容分两个博客写，下篇是矩阵论（零）：线性代数基础知识整理（3）——矩阵的秩与向量组的秩。本篇博客包含：目录中公式3及其之前的所有内容，包括定理1~20和所有提到的定义。其他内容在下篇博客中。

线性方程组的解与向量组的秩

线性方程组的解（初步讨论）

对任意线性方程组Ax=bAx=bAx=b，其中A是m×nm\times{n}m×n矩阵，称B=[Ab]B=\begin{bmatrix}A&b\end{bmatrix}B=[Ab]是A的增广矩阵，通过对B进行初等行变换化为B的行最简形（或行阶梯型），可以证明方程组的解有且仅有以下三种情形：
- 若r(A)+1=r(B)r(A)+1=r(B)r(A)+1=r(B)，则方程组无解
- 若r(A)=r(B)=nr(A)=r(B)=nr(A)=r(B)=n，则方程组有唯一解
- 若r(A)=r(B)<nr(A)=r(B)<nr(A)=r(B)<n，则方程组有无穷多解
对齐次线性方程组Ax=0Ax=0Ax=0，其中A是m×nm\times{n}m×n矩阵，可视作上述方程组的特例，故有如下结论：
- 若r(A)=nr(A)=nr(A)=n，则方程组有唯一解（零解）
- 若r(A)<nr(A)<nr(A)<n，则方程组有无穷多解（即一定有非零解）

由上述结论可见Ax=bAx=bAx=b有解的充要条件为r(A)=r[Ab]r(A)=r\begin{bmatrix}A&b\end{bmatrix}r(A)=r[Ab]。
利用上述对线性方程组的解的初步讨论的结果，接下来就可以研究向量组的秩的相关结论。

向量组的秩

【注】给定任一数域F，下面提到的向量，是指FnF^nFn中向量，即n个数构成的有序元组。一般来说，为方便起见，FnF^nFn与Fn×1F^{n\times 1}Fn×1不作区分，即直接将FnF^nFn中向量视作列向量。

线性相关与线性无关

定义1：设α1,α2,⋯,αm\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_mα1,α2,⋯,αm是n维向量组，若存在不全为零的常数k1,k2,⋯,kmk_1,k_2,\cdots,k_mk1,k2,⋯,km使得∑i=0mkiαi=0\sum_{i=0}^m k_i\alpha_i=0∑i=0mkiαi=0，则称该向量组线性相关；否则，称该向量组线性无关
定义2：若存在一组常数k1,k2,⋯,ksk_1,k_2,\cdots,k_sk1,k2,⋯,ks使得向量b=∑i=1skiaib=\sum_{i=1}^sk_ia_ib=∑i=1skiai，则称b可由a1,a2,⋯,asa_1,a_2,\cdots,a_sa1,a2,⋯,as线性表示；若向量组A中的每个向量都可由向量组B线性表示，则称A可由B线性表示；若向量组A和B可相互线性表示，则称A和B等价
定理1：向量组a1,a2,⋯,asa_1,a_2,\cdots,a_sa1,a2,⋯,as线性相关等价于齐次线性方程组[a1⋯as]x=0\begin{bmatrix}a_1&\cdots&a_s\end{bmatrix}x=0[a1⋯as]x=0有非零解，等价于矩阵[a1⋯as]\begin{bmatrix}a_1&\cdots&a_s\end{bmatrix}[a1⋯as]的秩小于s
定理2：若n维向量组U含有s>ns\gt{n}s>n个向量，则U线性相关
证明：
设U中向量分别为u1,u2,...,usu_1,u_2,...,u_su1,u2,...,us，它们按列构成矩阵A=[u1u2...us]A=\begin{bmatrix}u_1&u_2&...&u_s\end{bmatrix}A=[u1u2...us]，由于r(A)⩽n<sr(A)\leqslant n<sr(A)⩽n<s，故方程组Ax=0Ax=0Ax=0有非零解，即存在不全为零的常数k1,k2,...,ksk_1,k_2,...,k_sk1,k2,...,ks使得k1u1+k2u2+...+ksus=0k_1u_1+k_2u_2+...+k_su_s=0k1u1+k2u2+...+ksus=0，故U线性相关。
定理3：向量组线性相关的充要条件为该向量组中至少存在一个向量可用其他向量线性表示
定理4：若向量组a1,a2,⋯,asa_1,a_2,\cdots,a_sa1,a2,⋯,as线性无关，而a1,a2,⋯,as,ba_1,a_2,\cdots,a_s,ba1,a2,⋯,as,b线性相关，则b可由a1,a2,⋯,asa_1,a_2,\cdots,a_sa1,a2,⋯,as唯一地线性表示
定理5：若线性无关向量组a1,a2,...,asa_1,a_2,...,a_sa1,a2,...,as可由向量组b1,b2,...,btb_1,b_2,...,b_tb1,b2,...,bt线性表示，则s⩽ts\leqslant ts⩽t
证：（反证法）
假设s>ts>ts>t，设矩阵A=[a1a2...as],B=[b1b2...bt]A=\begin{bmatrix}a_1&a_2&...&a_s\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}b_1&b_2&...&b_t\end{bmatrix}A=[a1a2...as],B=[b1b2...bt]，则由已知，A的列向量组可由B的列向量组线性表示，即存在t×st\times st×s矩阵C使得A=BCA=BCA=BC。考察线性方程组Ax=0Ax=0Ax=0，由于A的列向量组线性无关，故该方程组只有零解，即BCx=0BCx=0BCx=0只有零解。但由于s>ts>ts>t，r(C)⩽t<sr(C)\leqslant t <sr(C)⩽t<s，故线性方程组Cx=0Cx=0Cx=0有非零解x0x_0x0，故BCx0=0BCx_0=0BCx0=0，即BCx=0BCx=0BCx=0有非零解x0x_0x0，矛盾。故假设不成立，即s⩽ts\leqslant ts⩽t，得证。
定理6：等价的线性无关向量组所含向量个数相同
证明：
设两个线性无关向量组分别为a1,a2,...,asa_1,a_2,...,a_sa1,a2,...,as，b1,b2,...,btb_1,b_2,...,b_tb1,b2,...,bt，它们可相互线性表示，由定理5知，s⩽ts\leqslant ts⩽t且t⩽st\leqslant st⩽s，故s=ts=ts=t，得证。
定理7：若向量组的某个子组线性相关，则该向量组线性相关；逆否命题为，若向量组线性无关，则该向量组的任意子组线性无关
定理8：若向量组a1,a2,...,asa_1,a_2,...,a_sa1,a2,...,as线性无关，则其延伸组(a1b1),(a2b2),...,(asbs)\begin{pmatrix}a_1\\b_1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}a_2\\b_2\end{pmatrix},...,\begin{pmatrix}a_s\\b_s\end{pmatrix}(a1b1),(a2b2),...,(asbs)线性无关

极大无关组与秩

定义3：若向量组U有一个子组u满足：u线性无关，且U中任意向量均可由u线性表示，则称u是U的极大无关组
定理9：若n维向量组U含有非零向量，则U的极大无关组必存在
证明：
若U含有不多于nnn个向量，取出U的所有线性无关子组，其中包含向量个数最多的子组一定是U的一个极大无关组。
若U含有不少于n+1n+1n+1个向量（包括了U是无穷集的情况），任取U的一个含有n+1n+1n+1个向量的子组U′U^{'}U′，则U′U^{'}U′是线性相关的。显然U′U^{'}U′存在线性无关的子组，且U′U^{'}U′的任意一个线性无关子组所含向量个数不大于n。设U′U^{'}U′的线性无关子组所含向量个数最大值为f(U′)f(U^{'})f(U′)，W=argmaxU′{f(U′)∣U′⊆U,card(U′)=n+1}W=\underset{U^{'}}{\mathrm{argmax}}\{f(U^{'})|U^{'}\subseteq{U},card(U^{'})=n+1\}W=U′argmax{f(U′)∣U′⊆U,card(U′)=n+1}则U的线性无关子组所含向量个数最大值是f(W)f(W)f(W)。设W′W^{'}W′是W的一个包含f(W)f(W)f(W)个向量的线性无关子组，现证明U中任意向量均可由W′W^{'}W′线性表示：显然W′W^{'}W′中向量可由W′W^{'}W′线性表示，∀x∈U,x∉W′,W′∪{x}\forall{x}\in{U},x\notin{W^{'}},W^{'}\cup{\{x\}}∀x∈U,x∈/W′,W′∪{x}是线性相关的，故x可由W′W^{'}W′线性表示，故根据极大无关组的定义，W′W^{'}W′是U的一个极大无关组。
定理10：若U存在极大无关组，则U的所有极大无关组所含向量的个数均相同
证：
由极大无关组的定义，U的所有极大无关组都是线性无关组，且它们之间可以互相线性表示，故由定理6知结论成立。
定理11：U中任意向量都可由U的某个极大无关组唯一地线性表示
证：
由极大无关组的定义和定理4可知。
定理12：向量组与其极大无关组等价
定义4：向量组U的秩定义为U的极大无关组所含的向量个数，记为r(U)；当U只含零向量时，定义r(U)=0r(U)=0r(U)=0
【注】设有向量组α1,α2,...,αm\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_mα1,α2,...,αm，则r(α1,α2,...,αm)r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m)r(α1,α2,...,αm)表示该向量组的秩。设有向量组(I)(I)(I)和向量组(II)(II)(II)，则(I,II)(I,II)(I,II)表示简单地把这两个向量组合并在一起（不去重，如果有重复向量都保留），r(I,II)r(I,II)r(I,II)表示这个新向量组的秩。
定义5：矩阵的行向量组的秩称为该矩阵的行秩，矩阵的列向量组的秩称为该矩阵的列秩
定理13：若r(U)=rr(U)=rr(U)=r，则U中的任意r个线性无关的向量x1,x2,...,xrx_1,x_2,...,x_rx1,x2,...,xr构成了U的一个极大无关组
证：
任取U中向量xxx，假设x1,x2,...,xr,xx_1,x_2,...,x_r,xx1,x2,...,xr,x是线性无关的，任取U的一个极大无关组U′U'U′，则x1,x2,...,xr,xx_1,x_2,...,x_r,xx1,x2,...,xr,x可由U′U'U′线性表示，由定理5知，U′U'U′含有不少于r+1r+1r+1个向量，这与U′U'U′含有rrr个向量矛盾。故假设不成立，即x1,x2,...,xr,xx_1,x_2,...,x_r,xx1,x2,...,xr,x是线性相关的，由定理4知，xxx可由x1,x2,...,xrx_1,x_2,...,x_rx1,x2,...,xr线性表示，又xxx是任取的，故根据极大无关组的定义知x1,x2,...,xrx_1,x_2,...,x_rx1,x2,...,xr是U的一个极大无关组。
定理14：若向量组UUU可由向量组U′U^{'}U′线性表示，则r(U)⩽r(U′)r(U)\leqslant{}r(U^{'})r(U)⩽r(U′)
证：
设UUU的一个极大无关组为W1W_1W1，U′U^{'}U′的一个极大无关组为W2W_2W2，则由W1W_1W1可由UUU线性表示，UUU可由U′U'U′线性表示，U′U'U′可由W2W_2W2线性表示，知W1W_1W1可由W2W_2W2线性表示，故由定义4和定理5知r(U)⩽r(U′)r(U)\leqslant{}r(U^{'})r(U)⩽r(U′)。
定理15：若两向量组等价，则它们的秩相等
证：
由定理14易得。
定理16：向量组（II）可由向量组（I）线性表示的充要条件为r(I)=r(I,II)r(\textrm{I})=r(\textrm{I,II})r(I)=r(I,II)
证：
必要性：显然（I）可由（I，II）线性表示。根据（II）可由（I）线性表示知，（I，II）可由（I）线性表示，故（I）与（I，II）等价，于是有r(I)=r(I,II)r(\textrm{I})=r(\textrm{I,II})r(I)=r(I,II)。
充分性：设（I）的一个极大无关组为U，则U是（I，II）的一个线性无关子组且U含有r(I)=r(I,II)r(\textrm{I})=r(\textrm{I,II})r(I)=r(I,II)个向量，由定理13知U是（I，II）的一个极大无关组。于是（II）可由U线性表示，又U可由（I）线性表示，故（II）可由（I）线性表示。
定理17：向量组（I）与向量组（II）等价的充要条件为r(I)=r(II)=r(I,II)r(\textrm{I})=r(\textrm{II})=r(\textrm{I,II})r(I)=r(II)=r(I,II)
证：
必要性：（I）与（II）等价意味着它们可相互线性表示，使用定理16便知结论成立。
充分性：根据定理16，r(I)=r(I,II)r(\textrm{I})=r(\textrm{I,II})r(I)=r(I,II)意味着（II）可由（I）线性表示，r(II)=r(I,II)r(\textrm{II})=r(\textrm{I,II})r(II)=r(I,II)意味着（I）可由（II）线性表示，因此（I）与（II）等价。
定理18：若向量组（II）可由向量组（I）线性表示，且r(I)=r(II)r(\textrm{I})=r(\textrm{II})r(I)=r(II)，则（I）与（II）等价
证：
根据定理16，（II）可由（I）线性表示意味着r(I)=r(I,II)r(\textrm{I})=r(\textrm{I,II})r(I)=r(I,II)，而已知条件有r(I)=r(II)r(\textrm{I})=r(\textrm{II})r(I)=r(II)，故r(I)=r(II)=r(I,II)r(\textrm{I})=r(\textrm{II})=r(\textrm{I,II})r(I)=r(II)=r(I,II)，进而由定理17知（I）与（II）等价。

线性方程组的解（进一步讨论）

定义6：齐次线性方程组Ax=0Ax=0Ax=0的所有解向量x构成了一个向量组，若该向量组有极大无关组，则称该向量组的极大无关组是该方程组的一个基础解系
定理19：设A是m×nm\times{n}m×n矩阵，r(A)=r<nr(A)=r<nr(A)=r<n，则Ax=0Ax=0Ax=0的基础解系存在，且其所含解向量个数为n−rn-rn−r（通过对增广矩阵进行初等行变换化为行阶梯型或行最简形，就可以构造出一个基础解系）

基础解系的思想是通过对增广矩阵进行初等行变换，把方程组化成最简的形式，此时探讨方程组解的结构就变得非常容易。基础解系的具体构造方法与线性方程组的解的结构这里不详细展开，可以参考博客（线性方程组解的分析）以及博客（里面有基础解系存在性的证明过程）。

零矩阵的判定定理

下面的定理涉及的矩阵均是某数域FFF上的矩阵。

若r(A)=0r(A)=0r(A)=0，则A=OA=OA=O
若存在列满秩矩阵B，使得BA=OBA=OBA=O，则A=OA=OA=O
证明：由r(A)=r(BA)=0r(A)=r(BA)=0r(A)=r(BA)=0立即可得。
若存在行满秩矩阵B，使得AB=OAB=OAB=O，则A=OA=OA=O
证明：由r(A)=r(AB)=0r(A)=r(AB)=0r(A)=r(AB)=0立即可得。
设A∈Fm×nA\in F^{m\times{n}}A∈Fm×n，若对任意x∈Fnx\in{F^n}x∈Fn，有Ax=0Ax=0Ax=0，则A=OA=OA=O
证明：
任取数域F上的一个行满秩矩阵Bn×kB_{n\times{k}}Bn×k（可逆方阵也行），对B的任意一个列向量xxx，都有Ax=0Ax=0Ax=0，故AB=OAB=OAB=O，从而由上面的结论得A=OA=OA=O。
【注1】值得一提的是，设A∈Cm×nA\in C^{m\times n}A∈Cm×n，若对任意x∈Qnx\in Q^nx∈Qn有Ax=0Ax=0Ax=0（Q,CQ,CQ,C分别为有理数域和复数域），则也有A=OA=OA=O的结论。这没什么奇怪的，取有理数域上一个n×kn\times{k}n×k行满秩矩阵BBB，根据AB=OAB=OAB=O以及r(A)=r(AB)r(A)=r(AB)r(A)=r(AB)就有A=OA=OA=O。
【注2】本质上，只要有nnn个线性无关的向量x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn满足Axi=0Ax_i=0Axi=0，就能确保A=OA=OA=O。
需要指出的是，有无穷多个向量xxx使Ax=0Ax=0Ax=0并不能保证A=OA=OA=O，举一反例（m=2,n=3m=2,n=3m=2,n=3）：∀k∈F\forall k\in F∀k∈F，x=k(1,0,0)Tx=k(1,0,0)^Tx=k(1,0,0)T，有[011011]x=0\begin{bmatrix}0&1&1\\0&1&1\end{bmatrix}x=0[001111]x=0。
有n−1n-1n−1个线性无关的向量x1,x2,...,xn−1x_1,x_2,...,x_{n-1}x1,x2,...,xn−1满足Axi=0Ax_i=0Axi=0也不能确保A=OA=OA=O，举个反例（m=2,n=3m=2,n=3m=2,n=3）：x1=(1,0,0)Tx_1=(1,0,0)^Tx1=(1,0,0)T，x2=(0,1,0)Tx_2=(0,1,0)^Tx2=(0,1,0)T，有[001001]xi=0\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&1\end{bmatrix}x_i=0[000011]xi=0，i=1,2i=1,2i=1,2。
设A∈Fm×nA\in F^{m\times{n}}A∈Fm×n，若对任意x∈Fmx\in{F^m}x∈Fm，有xTA=0Tx^TA=0^TxTA=0T，则A=OA=OA=O
证明：
由∀x∈Fm,ATx=0\forall{x}\in{F^m},A^Tx=0∀x∈Fm,ATx=0可判定AT=OA^T=OAT=O，故A=OA=OA=O。
若tr(AHA)=0tr(A^HA)=0tr(AHA)=0，则A=OA=OA=O
证明：
注意到tr(AHA)=∑i,j∣aij∣2=0tr(A^HA)=\sum_{i,j}|a_{ij}|^2=0tr(AHA)=∑i,j∣aij∣2=0，其中aija_{ij}aij是AAA的第i行第j列元素，∣∙∣|\bullet|∣∙∣表示复数的模，故有上述结论。
【注】实际上tr(AHA)tr(A^HA)tr(AHA)是矩阵AAA的Frobenius范数的平方，具体见矩阵的条件数。有时还会碰到AHA=OA^HA=OAHA=O，这是一个看起来更强的条件，因为AHA=O⟹tr(AHA)=0A^HA=O\implies tr(A^HA)=0AHA=O⟹tr(AHA)=0。
若r(AB)=r(B)r(AB)=r(B)r(AB)=r(B)且ABC=OABC=OABC=O，则BC=OBC=OBC=O
证明：
定理24告诉我们，在r(AB)=r(B)r(AB)=r(B)r(AB)=r(B)的条件下，齐次线性方程组ABx=0ABx=0ABx=0和Bx=0Bx=0Bx=0是同解方程组。由ABC=OABC=OABC=O知CCC的每个列向量都是ABx=0ABx=0ABx=0的解，故也都是Bx=0Bx=0Bx=0的解，故BC=OBC=OBC=O。
【注】证明中用到了矩阵论（零）：线性代数基础知识整理（3）——矩阵的秩与向量组的秩中的定理24。
若r(BC)=r(B)r(BC)=r(B)r(BC)=r(B)且ABC=OABC=OABC=O，则AB=OAB=OAB=O
证明：（利用上一条结论）
由已知，r(CTBT)=r(BT)r(C^TB^T)=r(B^T)r(CTBT)=r(BT)，根据CTBTAT=OC^TB^TA^T=OCTBTAT=O可得BTAT=OB^TA^T=OBTAT=O，故AB=OAB=OAB=O。

【注】最后两个结论在广义逆矩阵中有用，见链接。

关于秩的重要结论总结

矩阵的秩与向量组的秩的关系

定理20：矩阵的秩等于其行秩和列秩
证明：
设矩阵A的秩r(A)=rr(A)=rr(A)=r，取A的一个最高阶非零子式，其所在子矩阵为A′A'A′，则A′A'A′是可逆的，由A′x=0A'x=0A′x=0只有零解知A′A'A′的列向量组线性无关，由定理8知其对应于A中的列向量子组（延伸组）也是线性无关的，设该子组为U。任取A中列向量xxx,x∉Ux\notin Ux∈/U，U∪{x}U\cup\{x\}U∪{x}所在的子矩阵A′′A''A′′有r+1r+1r+1个列向量，A′′A''A′′的任意一个r+1r+1r+1阶子式均为零，但其r阶子式det(A′)det(A')det(A′)不为零，故r(A′′)=r<r+1r(A'')=r<r+1r(A′′)=r<r+1，故A′′x=0A''x=0A′′x=0有非零解，故U∪{x}U\cup\{x\}U∪{x}是线性相关的，xxx可由UUU线性表示。由定义3知U是A的列向量组的一个极大无关组，故A的列秩等于r，即AAA的秩。
按照相同的证明思想（分析A′A'A′的行向量组即可），可以证明AAA的行秩也等于r(A)r(A)r(A)。

这个定理告诉我们矩阵的秩和行秩、列秩是殊途同归的，有些教材中就直接把矩阵的秩定义成其列秩。有了这个结论，之后我们在研究矩阵的秩时，就有了两种角度：从矩阵本身的角度和从列（行）向量组的角度。加上定理19，我们共有3种角度。对应的三种方法如下：

通过初等变换来研究矩阵的秩，这里常常使用秩标准形定理、分块矩阵技巧等。（关于秩标准形定理和分块矩阵的初等变换，请参考上一篇博客链接）
通过分析列（行）向量组的秩研究矩阵的秩
借用齐次线性方程组的基础解系理论来研究矩阵的秩

下面，我们应用这三种方法得到线性代数和矩阵论中关于秩的一些常用结论。

常用秩的等式和不等式

引理：设A∈Fm×n,B∈Fm×lA\in F^{m\times n},B\in F^{m\times l}A∈Fm×n,B∈Fm×l，则r[AB]=r(A)r\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}=r(A)r[AB]=r(A)的充要条件为存在矩阵X∈Fn×lX\in F^{n\times l}X∈Fn×l使得AX=BAX=BAX=B（即关于XXX的矩阵方程AX=BAX=BAX=B有解）
【注】该引理实际上是定理21，证明在下篇博客矩阵论（零）：线性代数基础知识整理（3）——矩阵的秩与向量组的秩。类似的结论如下：
引理#：设A∈Fm×n,B∈Fl×nA\in F^{m\times n},B\in F^{l\times n}A∈Fm×n,B∈Fl×n，则r[AB]=r(A)r\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}=r(A)r[AB]=r(A)的充要条件为存在矩阵YYY使得YA=BYA=BYA=B
公式1：∣r(A)−r(B)∣⩽r(A±B)⩽r(A)+r(B)|r(A)-r(B)|\leqslant r(A\pm B)\leqslant{}r(A)+r(B)∣r(A)−r(B)∣⩽r(A±B)⩽r(A)+r(B)
证：
实际上只需证明r(A+B)⩽r(A)+r(B)r(A+B)\leqslant r(A)+r(B)r(A+B)⩽r(A)+r(B)。这是因为若r(A+B)⩽r(A)+r(B)r(A+B)\leqslant r(A)+r(B)r(A+B)⩽r(A)+r(B)成立，则r(A−B)=r(A+(−B))⩽r(A)+r(−B)=r(A)+r(B)r(A-B)=r(A+(-B))\leqslant r(A)+r(-B)=r(A)+r(B)r(A−B)=r(A+(−B))⩽r(A)+r(−B)=r(A)+r(B)，且有r(A)=r(A−B+B)⩽r(A−B)+r(B)r(A)=r(A-B+B)\leqslant r(A-B)+r(B)r(A)=r(A−B+B)⩽r(A−B)+r(B)和r(B)=r(A−B−A)⩽r(A−B)+r(A)r(B)=r(A-B-A)\leqslant r(A-B)+r(A)r(B)=r(A−B−A)⩽r(A−B)+r(A)，于是∣r(A)−r(B)∣⩽r(A−B)|r(A)-r(B)|\leqslant r(A-B)∣r(A)−r(B)∣⩽r(A−B)。类似可得到∣r(A)−r(B)∣⩽r(A+B)|r(A)-r(B)|\leqslant r(A+B)∣r(A)−r(B)∣⩽r(A+B)。
法1：分块矩阵初等变换
r(A)+r(B)=r[AOOB]=行变换r[AOAB]=列变换r[AOA+BB]⩾r[AOA+BO]⩾r[OOA+BO]=r(A+B)r(A)+r(B)=r\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}\overset{行变换}{=}r\begin{bmatrix}A&O\\A&B\end{bmatrix}\overset{列变换}{=}r\begin{bmatrix}A&O\\A+B&B\end{bmatrix}\geqslant r\begin{bmatrix}A&O\\A+B&O\end{bmatrix}\geqslant r\begin{bmatrix}O&O\\A+B&O\end{bmatrix}=r(A+B)r(A)+r(B)=r[AOOB]=行变换r[AAOB]=列变换r[AA+BOB]⩾r[AA+BOO]⩾r[OA+BOO]=r(A+B)
法2：列向量组的秩
设AAA和BBB的列向量组的极大无关组分别为(I),(II)(I),(II)(I),(II)，则A+BA+BA+B的列向量组可由(I,II)(I,II)(I,II)线性表示。设(I,II)(I,II)(I,II)的一个极大无关组为(III)(III)(III)，则A+BA+BA+B的列向量组可由(III)(III)(III)线性表示。注意(I,II)(I,II)(I,II)含有r(A)+r(B)r(A)+r(B)r(A)+r(B)个向量，根据定理14可知r(A+B)⩽r(III)⩽r(A)+r(B)r(A+B)\leqslant r(III)\leqslant r(A)+r(B)r(A+B)⩽r(III)⩽r(A)+r(B)。
.
【取等号的条件】
（1）r(A+B)=r(A)+r(B)r(A+B)=r(A)+r(B)r(A+B)=r(A)+r(B)的充要条件为存在矩阵X,YX,YX,Y使XA=A,XB=O,AY=O,BY=BXA=A,XB=O,AY=O,BY=BXA=A,XB=O,AY=O,BY=B
证：
从法1的证明可以看出取等号的充要条件为r[AOA+BB]=r[AOA+BO]=r[OOA+BO]r\begin{bmatrix}A&O\\A+B&B\end{bmatrix}=r\begin{bmatrix}A&O\\A+B&O\end{bmatrix}=r\begin{bmatrix}O&O\\A+B&O\end{bmatrix}r[AA+BOB]=r[AA+BOO]=r[OA+BOO]故由引理和引理#得，充要条件为存在矩阵X,YX,YX,Y使[AA+B]Y=[OB]\begin{bmatrix}A\\A+B\end{bmatrix}Y=\begin{bmatrix}O\\B\end{bmatrix}[AA+B]Y=[OB]且A=X(A+B)A=X(A+B)A=X(A+B)，即AY=O,BY=(A+B)Y=B,A=X(A+B)AY=O,BY=(A+B)Y=B,A=X(A+B)AY=O,BY=(A+B)Y=B,A=X(A+B)。若A=X(A+B)A=X(A+B)A=X(A+B)成立，则XB=XBY=XAY+XBY=X(A+B)Y=AY=OXB=XBY=XAY+XBY=X(A+B)Y=AY=OXB=XBY=XAY+XBY=X(A+B)Y=AY=O且XA=X(A+B)=AXA=X(A+B)=AXA=X(A+B)=A；反之，若XB=OXB=OXB=O且XA=AXA=AXA=A成立，则X(A+B)=XA+XB=AX(A+B)=XA+XB=AX(A+B)=XA+XB=A。这就证明了AY=O,BY=B,A=X(A+B)AY=O,BY=B,A=X(A+B)AY=O,BY=B,A=X(A+B)与XA=A,XB=O,AY=O,BY=BXA=A,XB=O,AY=O,BY=BXA=A,XB=O,AY=O,BY=B这两组条件是等价的，故结论得证。
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（2）r(A+B)=r(A)+r(B)r(A+B)=r(A)+r(B)r(A+B)=r(A)+r(B)的充要条件为R(A)∩R(B)={0}R(A)\cap R(B)=\{0\}R(A)∩R(B)={0}且R(AT)∩R(BT)={0}R(A^T)\cap R(B^T)=\{0\}R(AT)∩R(BT)={0}，其中R(∙)R(\bullet)R(∙)表示列空间（值域），{0}\{0\}{0}表示零空间
证：
根据（1），只需证存在矩阵X,YX,YX,Y使XA=A,XB=O,AY=O,BY=BXA=A,XB=O,AY=O,BY=BXA=A,XB=O,AY=O,BY=B的充要条件为R(A)∩R(B)={0}R(A)\cap R(B)=\{0\}R(A)∩R(B)={0}且R(AT)∩R(BT)={0}R(A^T)\cap R(B^T)=\{0\}R(AT)∩R(BT)={0}。
必要性：∀z∈R(A)∩R(B)\forall z\in R(A)\cap R(B)∀z∈R(A)∩R(B)，有z∈R(A)z\in R(A)z∈R(A)且z∈R(B)z\in R(B)z∈R(B)，故存在向量z1,z2z_1,z_2z1,z2使z=Az1=Bz2z=Az_1=Bz_2z=Az1=Bz2，计算可得z=Az1=XAz1=XBz2=0z=Az_1=XAz_1=XBz_2=0z=Az1=XAz1=XBz2=0，故R(A)∩R(B)⊆{0}R(A)\cap R(B)\subseteq \{0\}R(A)∩R(B)⊆{0}。又R(A)∩R(B)⊇{0}R(A)\cap R(B)\supseteq \{0\}R(A)∩R(B)⊇{0}，故R(A)∩R(B)={0}R(A)\cap R(B)=\{0\}R(A)∩R(B)={0}。同理可由AY=O,BY=BAY=O,BY=BAY=O,BY=B得到R(AT)∩R(BT)={0}R(A^T)\cap R(B^T)=\{0\}R(AT)∩R(BT)={0}。
充分性：由维数公式知，R(A)∩R(B)={0}R(A)\cap R(B)=\{0\}R(A)∩R(B)={0}就意味着dim(R(A)+R(B))=dimR(A)+dimR(B)dim (R(A)+R(B))=dim R(A)+dim R(B)dim(R(A)+R(B))=dimR(A)+dimR(B)，注意到R(A)+R(B)=R([AB])R(A)+R(B)=R(\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix})R(A)+R(B)=R([AB])，且由定理20有dimR(A)=r(A),dimR(B)=r(B),dimR([AB])=r[AB]dim R(A)=r(A),dim R(B)=r(B),dim R(\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix})=r\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}dimR(A)=r(A),dimR(B)=r(B),dimR([AB])=r[AB]，故r[AB]=r(A)+r(B)r\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}=r(A)+r(B)r[AB]=r(A)+r(B)。利用分块初等变换可得r(A)+r(B)=r[AOOB]=行变换r[AOAB]r(A)+r(B)=r\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}\overset{\text{行变换}}{=}r\begin{bmatrix}A&O\\A&B\end{bmatrix}r(A)+r(B)=r[AOOB]=行变换r[AAOB]故r[OOAB]=r[AOAB]r\begin{bmatrix}O&O\\A&B\end{bmatrix}=r\begin{bmatrix}A&O\\A&B\end{bmatrix}r[OAOB]=r[AAOB]，由引理#知存在矩阵XXX使[AO]=X[AB]\begin{bmatrix}A&O\end{bmatrix}=X\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}[AO]=X[AB]，即XA=A,XB=OXA=A,XB=OXA=A,XB=O。同理，由R(AT)∩R(BT)={0}R(A^T)\cap R(B^T)=\{0\}R(AT)∩R(BT)={0}可得存在矩阵YYY使AY=O,BY=BAY=O,BY=BAY=O,BY=B。证毕。
【注】证明中用到的线性空间的相关知识可参考矩阵论（零）：线性代数基础知识整理（4）——线性空间与线性变换。
公式2：r(AB)⩽min{r(A),r(B)}r(AB)\leqslant{}min\{r(A),r(B)\}r(AB)⩽min{r(A),r(B)}
证：
法1：分块矩阵初等变换r(A)=r[AO]=列变换r[AAB]⩾r[OAB]=r(AB)r(A)=r\begin{bmatrix}A&O\end{bmatrix}\overset{\text{列变换}}{=}r\begin{bmatrix}A&AB\end{bmatrix}\geqslant r\begin{bmatrix}O&AB\end{bmatrix}=r(AB)r(A)=r[AO]=列变换r[AAB]⩾r[OAB]=r(AB)r(B)=r[BO]=行变换r[BAB]⩾r[OAB]=r(AB)r(B)=r\begin{bmatrix}B\\O\end{bmatrix}\overset{\text{行变换}}{=}r\begin{bmatrix}B\\AB\end{bmatrix}\geqslant r\begin{bmatrix}O\\AB\end{bmatrix}=r(AB)r(B)=r[BO]=行变换r[BAB]⩾r[OAB]=r(AB)
法2：列向量组
设B=[β1β2...βk]B=\begin{bmatrix}\beta_1&\beta_2&...&\beta_k\end{bmatrix}B=[β1β2...βk]，i1,i2,...,iki_1,i_2,...,i_ki1,i2,...,ik是1,2,...,k1,2,...,k1,2,...,k的一个排列，满足Aβi1,Aβi2,...Aβir(AB)A\beta_{i_1},A\beta_{i_2},...A\beta_{i_{r(AB)}}Aβi1,Aβi2,...Aβir(AB)是ABABAB的列向量组的一个极大无关组，r(AB)=rr(AB)=rr(AB)=r。假设βi1,βi2,...βir\beta_{i_1},\beta_{i_2},...\beta_{i_r}βi1,βi2,...βir是线性相关的，即存在不全为零的常数k1,k2,...,krk_1,k_2,...,k_rk1,k2,...,kr使得k1βi1+k2βi2+...+krβir=0k_1\beta_{i_1}+k_2\beta_{i_2}+...+k_r\beta_{i_r}=0k1βi1+k2βi2+...+krβir=0，则k1Aβi1+k2Aβi2+...+krAβir=0k_1A\beta_{i_1}+k_2A\beta_{i_2}+...+k_rA\beta_{i_r}=0k1Aβi1+k2Aβi2+...+krAβir=0，即Aβi1,Aβi2,...AβirA\beta_{i_1},A\beta_{i_2},...A\beta_{i_r}Aβi1,Aβi2,...Aβir是线性相关的，矛盾。故假设不成立，即βi1,βi2,...βir\beta_{i_1},\beta_{i_2},...\beta_{i_r}βi1,βi2,...βir是线性无关的，故r(B)=r(βi1,βi2,...βik)⩾r(βi1,βi2,...βir)=r(AB)r(B)=r(\beta_{i_1},\beta_{i_2},...\beta_{i_k})\geqslant r(\beta_{i_1},\beta_{i_2},...\beta_{i_r})=r(AB)r(B)=r(βi1,βi2,...βik)⩾r(βi1,βi2,...βir)=r(AB)。r(A)=r(AT)⩾r(BTAT)=r(AB)r(A)=r(A^T)\geqslant r(B^TA^T)=r(AB)r(A)=r(AT)⩾r(BTAT)=r(AB)。证毕。
法3：线性方程组
显然Bx=0Bx=0Bx=0的解都是ABx=0ABx=0ABx=0的解，而Bx=0Bx=0Bx=0的基础解系含k−r(B)k-r(B)k−r(B)个向量，ABx=0ABx=0ABx=0的基础解系含k−r(AB)k-r(AB)k−r(AB)个向量，于是k−r(B)⩽k−r(AB)k-r(B)\leqslant k-r(AB)k−r(B)⩽k−r(AB)，即r(B)⩾r(AB)r(B)\geqslant r(AB)r(B)⩾r(AB)。r(A)=r(AT)⩾r(BTAT)=r(AB)r(A)=r(A^T)\geqslant r(B^TA^T)=r(AB)r(A)=r(AT)⩾r(BTAT)=r(AB)。证毕。
公式3（Sylvester不等式）：r(A)+r(B)−n⩽r(Am×nBn×k)r(A)+r(B)-n\leqslant{}r(A_{m\times{n}}B_{n\times{k}})r(A)+r(B)−n⩽r(Am×nBn×k)，取等号的充要条件为存在矩阵X,YX,YX,Y使XA+BY=InXA+BY=I_nXA+BY=In
【注】注意Sylvester不等式是Frobenius不等式的特例，前者取等号的条件可直接由后者取等号的条件得到。这里只证明不等式本身。Frobenius不等式及其取等号的条件见下篇博客链接。
证：
法1：分块矩阵初等变换
r(A)+r(B)=r[BOOA]⩽r[BIOA]=行变换r[BI−ABO]=列变换r[OI−ABO]=r(AB)+r(I)=r(AB)+n\begin{aligned}r(A)+r(B)&=r\begin{bmatrix}B&O\\O&A\end{bmatrix}\leqslant r\begin{bmatrix}B&I\\O&A\end{bmatrix}\\&\overset{\text{行变换}}{=}r\begin{bmatrix}B&I\\-AB&O\end{bmatrix}\overset{\text{列变换}}{=}r\begin{bmatrix}O&I\\-AB&O\end{bmatrix}\\&=r(AB)+r(I)=r(AB)+n\end{aligned}r(A)+r(B)=r[BOOA]⩽r[BOIA]=行变换r[B−ABIO]=列变换r[O−ABIO]=r(AB)+r(I)=r(AB)+n或者将上述初等变换用分块初等矩阵表示出来，即[InO−AIm][BInOA][ImO−BIn]=[OIn−ABO]\begin{bmatrix}I_n&O\\-A&I_m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}B&I_n\\O&A\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_m&O\\-B&I_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}O&I_n\\-AB&O\end{bmatrix}[In−AOIm][BOInA][Im−BOIn]=[O−ABInO]于是有r(A)+r(B)=r[BOOA]⩽r[BIOA]=r[OI−ABO]=r(AB)+nr(A)+r(B)=r\begin{bmatrix}B&O\\O&A\end{bmatrix}\leqslant r\begin{bmatrix}B&I\\O&A\end{bmatrix}=r\begin{bmatrix}O&I\\-AB&O\end{bmatrix}\\=r(AB)+nr(A)+r(B)=r[BOOA]⩽r[BOIA]=r[O−ABIO]=r(AB)+n。
法2：初等变换（使用秩标准形定理）
存在可逆矩阵P，Q使得A=P[Ir(A)OOO]QA=P\begin{bmatrix}I_{r(A)}&O\\O&O\end{bmatrix}QA=P[Ir(A)OOO]Q，设QB=[M1M2]QB=\begin{bmatrix}M_1\\M_2\end{bmatrix}QB=[M1M2]，其中M1∈Fr(A)×k,M2∈F(n−r(A))×kM_1\in F^{r(A)\times k},M_2\in F^{(n-r(A))\times k}M1∈Fr(A)×k,M2∈F(n−r(A))×k，则AB=P[Ir(A)OOO]QB=P[M1O]AB=P\begin{bmatrix}I_{r(A)}&O\\O&O\end{bmatrix}QB=P\begin{bmatrix}M_1\\O\end{bmatrix}AB=P[Ir(A)OOO]QB=P[M1O]。由于矩阵每减少一行，其秩至多减少1，故r[M1O]⩾r[M1M2]−(n−r(A))r\begin{bmatrix}M_1\\O\end{bmatrix}\geqslant r\begin{bmatrix}M_1\\M_2\end{bmatrix}-(n-r(A))r[M1O]⩾r[M1M2]−(n−r(A))，即r(AB)=r[M1O]⩾r[M1M2]+r(A)−n=r(B)+r(A)−nr(AB)=r\begin{bmatrix}M_1\\O\end{bmatrix}\geqslant r\begin{bmatrix}M_1\\M_2\end{bmatrix}+r(A)-n=r(B)+r(A)-nr(AB)=r[M1O]⩾r[M1M2]+r(A)−n=r(B)+r(A)−n。
法3：列向量组+齐次线性方程组
设r(AB)=rr(AB)=rr(AB)=r，B=[β1β2...βk]B=\begin{bmatrix}\beta_1&\beta_2&...&\beta_k\end{bmatrix}B=[β1β2...βk]，i1,i2,...,iki_1,i_2,...,i_ki1,i2,...,ik是1,2,...,k1,2,...,k1,2,...,k的一个排列，满足Aβi1,Aβi2,...AβirA\beta_{i_1},A\beta_{i_2},...A\beta_{i_{r}}Aβi1,Aβi2,...Aβir是ABABAB的列向量组的一个极大无关组。根据反证法易得βi1,βi2,...,βir\beta_{i_1},\beta_{i_2},...,\beta_{i_r}βi1,βi2,...,βir是线性无关的，因此r(βi1,βi2,...,βir)=rr(\beta_{i_1},\beta_{i_2},...,\beta_{i_r})=rr(βi1,βi2,...,βir)=r。根据极大无关组的定义知存在常数kljk_{lj}klj(l=r+1,r+2..,k(l=r+1,r+2..,k(l=r+1,r+2..,k，j=1,2,...,r)j=1,2,...,r)j=1,2,...,r)使得Aβil=∑j=1rkljAβijA\beta_{i_l}=\sum_{j=1}^{r}k_{lj}A\beta_{i_j}Aβil=∑j=1rkljAβij。记β^l=βil−∑j=1rkljβij\hat\beta_{l}=\beta_{i_l}-\sum_{j=1}^{r}k_{lj}\beta_{i_j}β^l=βil−∑j=1rkljβij，于是Aβ^l=0A\hat\beta_{l}=0Aβ^l=0。齐次线性方程组Ax=0Ax=0Ax=0的基础解系解向量个数为n−r(A)n-r(A)n−r(A)，故r(β^r+1,β^r+2,...,β^k)⩽n−r(A)r(\hat\beta_{r+1},\hat\beta_{r+2},...,\hat\beta_{k})\leqslant n-r(A)r(β^r+1,β^r+2,...,β^k)⩽n−r(A)。容易看出向量组βi1,βi2,...,βik\beta_{i_1},\beta_{i_2},...,\beta_{i_k}βi1,βi2,...,βik与向量组βi1,βi2,...,βir,β^r+1,β^r+2,...,β^k\beta_{i_1},\beta_{i_2},...,\beta_{i_r},\hat\beta_{r+1},\hat\beta_{r+2},...,\hat\beta_{k}βi1,βi2,...,βir,β^r+1,β^r+2,...,β^k等价，于是r(B)=r(βi1,βi2,...,βik)=r(βi1,βi2,...,βir,β^r+1,β^r+2,...,β^k)⩽r(βi1,βi2,...,βir)+r(β^r+1,β^r+2,...,β^k)=r(AB)+r(β^r+1,β^r+2,...,β^k)⩽r(AB)+n−r(A)r(B)=r(\beta_{i_1},\beta_{i_2},...,\beta_{i_k})=r(\beta_{i_1},\beta_{i_2},...,\beta_{i_r},\hat\beta_{r+1},\hat\beta_{r+2},...,\hat\beta_{k})\leqslant r(\beta_{i_1},\beta_{i_2},...,\beta_{i_r})+r(\hat\beta_{r+1},\hat\beta_{r+2},...,\hat\beta_{k})=r(AB)+r(\hat\beta_{r+1},\hat\beta_{r+2},...,\hat\beta_{k})\leqslant r(AB)+n-r(A)r(B)=r(βi1,βi2,...,βik)=r(βi1,βi2,...,βir,β^r+1,β^r+2,...,β^k)⩽r(βi1,βi2,...,βir)+r(β^r+1,β^r+2,...,β^k)=r(AB)+r(β^r+1,β^r+2,...,β^k)⩽r(AB)+n−r(A)，即r(A)+r(B)−n⩽r(AB)r(A)+r(B)-n\leqslant r(AB)r(A)+r(B)−n⩽r(AB)。