向量组的秩

1 极大线性无关组
2 向量组的秩
3 极大线性无关组的求解

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1 极大线性无关组

如下，四个向量构成的向量组，其实经过简化后可以直接使用两个向量进行表示
(10)(20)(010)(05)⇒(10)(05)\left(\begin{matrix} 1\\0\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 2\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\10\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 0\\5\end{matrix}\right) \Rightarrow \left(\begin{matrix} 1\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\5\end{matrix}\right) (10)(20)(010)(05)⇒(10)(05)极大线性无关组：α1,α2,α3,α4,α5\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4},\alpha_{5}α1,α2,α3,α4,α5的部分组α1,α2\alpha_{1},\alpha_{2}α1,α2满足
1）α1,α2\alpha_{1},\alpha_{2}α1,α2线性无关
2）每个向量均可由α1,α2\alpha_{1},\alpha_{2}α1,α2表示
则称α1,α2\alpha_{1},\alpha_{2}α1,α2是这个向量组的极大无关组（这里的极大是指：找无关的向量组的向量个数最大），比如上面的示例可以选择是 (10)(05)\left(\begin{matrix} 1\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\5\end{matrix}\right)(10)(05)也可以是(20)(05)\left(\begin{matrix} 2\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\5\end{matrix}\right)(20)(05)，故极大无关组不是唯一的，但是任意两个极大无关组中向量的个数是相同的

2 向量组的秩

定义：极大线性无关组含向量的个数，记作r(α1,α2,...,αs)r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s})r(α1,α2,...,αs)
回故一下矩阵的秩：非零子式的最高阶数

1）0<=r(α1,α2,...,αs)<=s0<=r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s})<=s0<=r(α1,α2,...,αs)<=s

比如下面向量组，根据上述结论，可知极大无关组的个数在0-5之间，但是实际上根据上一节里面的结论：n+1个n维向量组必定线性相关，所以0<=r(α1,α2,...,αs)<=min{向量的个数,向量的维数}0<=r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s})<=min\{向量的个数,向量的维数\}0<=r(α1,α2,...,αs)<=min{向量的个数,向量的维数}
(112)(110)(122)(189)(345)\left(\begin{matrix} 1\\1\\2\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1\\1\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 1\\2\\2\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1\\8\\9\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 3\\4\\5\end{matrix}\right) ⎝⎛112⎠⎞⎝⎛110⎠⎞⎝⎛122⎠⎞⎝⎛189⎠⎞⎝⎛345⎠⎞2）α1,α2,...,αs\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}α1,α2,...,αs线性无关 ⟺r=s\iff r =s⟺r=s
3）α1,α2,...,αs\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}α1,α2,...,αs线性相关 ⟺r<s\iff r <s⟺r<s

定理：α1,α2,...,αs\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}α1,α2,...,αs可由β1,β2,...,βt\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{t}β1,β2,...,βt表示，则r(α1,α2,...,αs)<=r(β1,β2,...,βt)r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}) <= r(\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{t})r(α1,α2,...,αs)<=r(β1,β2,...,βt)
注意：等价的向量组有相同的秩，但是有相同秩的向量组不一定等价

行秩与列秩
比如
A=(111113021156910011)A = \left(\begin{matrix} 1&1&1&1&1&3\\0&2&1&1&5&6\\9&1&0&0&1&1\end{matrix}\right) A=⎝⎛109121110110151361⎠⎞这个向量可以分作行向量组α1=(1,1,1,1,1,3),α2=(0,2,1,1,5,6),α3=(9,1,0,0,1,1)\alpha_{1} = (1,1,1,1,1,3),\alpha_{2}=(0,2,1,1,5,6),\alpha_{3} = (9,1,0,0,1,1)α1=(1,1,1,1,1,3),α2=(0,2,1,1,5,6),α3=(9,1,0,0,1,1)与列向量组β1,β2,β3,β4,β5,β6\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\beta_{4},\beta_{5},\beta_{6}β1,β2,β3,β4,β5,β6

结论：行秩 = 列秩 = 矩阵的秩r(A)r(A)r(A)

就是利用上面的式子，直接求解矩阵的秩就可以得到行秩和列秩的值

B=(3332−15−53−134−311)⇒(1110−33000000)B = \left(\begin{matrix} 3&3&3\\2&-1&5\\-5&3&-13\\4&-3&11\end{matrix}\right) \Rightarrow \left(\begin{matrix} 1&1&1\\0&-3&3\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right)B=⎝⎜⎜⎛32−543−13−335−1311⎠⎟⎟⎞⇒⎝⎜⎜⎛10001−3001300⎠⎟⎟⎞

3 极大线性无关组的求解

定理：初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系
(105013000)⇒(105013118)\left(\begin{matrix} 1&0&5\\0&1&3\\0&0&0\end{matrix}\right)\Rightarrow \left(\begin{matrix} 1&0&5\\0&1&3\\1&1&8\end{matrix}\right) ⎝⎛100010530⎠⎞⇒⎝⎛101011538⎠⎞比如将第一行和第二行都加到第三行上面去，将向量拆解成向量组进行表示，左侧为α1=(1,0,0),α2=(0,1,0),α3=(5,3,0)\alpha_{1} = (1,0,0),\alpha_{2}=(0,1,0),\alpha_{3} = (5,3,0)α1=(1,0,0),α2=(0,1,0),α3=(5,3,0) ，其中α1,α2\alpha_{1},\alpha_{2}α1,α2线性无关的，α3=5α1+3α2\alpha_{3} = 5\alpha_{1}+3\alpha_{2}α3=5α1+3α2。可以发现对于右侧的向量也可以拆解成向量组的形式表示，β1=(1,0,1),β2=(0,1,1),β3=(5,3,8)\beta_{1} = (1,0,1),\beta_{2}=(0,1,1),\beta_{3} = (5,3,8)β1=(1,0,1),β2=(0,1,1),β3=(5,3,8)，显然β1,β2\beta_{1},\beta_{2}β1,β2是线性无关的，而且β3=5β1+3β2\beta_{3} = 5\beta_{1}+3\beta_{2}β3=5β1+3β2，也就证明了定理。

例题，若α1=(1,−2,2,−1),α2=(2,−4,8,0),α3=(−2,4,−2,3),α4=(3,−6,0,−6)\alpha_{1} = (1,-2,2,-1),\alpha_{2}=(2,-4,8,0),\alpha_{3} = (-2,4,-2,3),\alpha_{4} = (3,-6,0,-6)α1=(1,−2,2,−1),α2=(2,−4,8,0),α3=(−2,4,−2,3),α4=(3,−6,0,−6),求解向量组的极大线性无关组

基本步骤：

1）不管向量是行或者列，均按照列构成矩阵
2）只用初等行变换，化为行简化阶梯型
3）首非零元所在列做极大无关组
4）其余向量表示系数，直接写出来即可

解：首先按照前两个步骤完成下列的操作，还是以左侧为α\alphaα，右侧为β\betaβ，发现β1,β2\beta_{1},\beta_{2}β1,β2线性无关，按照第三步就是直接作为极大无关组，β3,β4\beta_{3},\beta_{4}β3,β4直接忽略最后的含0行后数值直接作系数读出来，比如β3=−3β1+12β2,β4=6β1−32β2\beta_{3} = -3\beta_{1}+\frac{1}{2}\beta_{2},\beta_{4} = 6\beta_{1}-\frac{3}{2}\beta_{2}β3=−3β1+21β2,β4=6β1−23β2
(12−23−2−44−628−20−103−6)⇒(10−360112−3200000000)\left(\begin{matrix} 1&2&-2&3\\-2&-4&4&-6\\2&8&-2&0\\-1&0&3&-6\end{matrix}\right) \Rightarrow \left(\begin{matrix} 1&0&-3&6\\0&1&\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{matrix}\right)⎝⎜⎜⎛1−22−12−480−24−233−60−6⎠⎟⎟⎞⇒⎝⎜⎜⎛10000100−321006−2300⎠⎟⎟⎞最后按照刚刚梳理的定理：初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系，故对于β\betaβ适应的线性关系，对于α\alphaα同样适用，所以原向量组的极大线性无关组为α1,α2,α3=−3α1+12α2,α4=6α1−32α2\alpha_{1},\alpha_{2}, \alpha_{3} = -3\alpha_{1}+\frac{1}{2}\alpha_{2},\alpha_{4} = 6\alpha_{1}-\frac{3}{2}\alpha_{2}α1,α2,α3=−3α1+21α2,α4=6α1−23α2

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